2 
Vorbegriffe rc. 
§. 4. 
Zur Erläuterung des Gesagten, mögen einige Beispiele 
dienen. 
Es sey u = ax, wo S als constant angesehen wird; hier 
ist u eine Function von x, und zwar von der einfachsten Art, 
weil sie der veränderlichen proportional ist. Nimmt man an, 
daß aus x, x-j-h werde, und bezeichnet den neuen Werth von 
■u mit u', so wird man haben: u' = ax-j-ah, woraus . . . 
u' — u== ah, und durch Division der beiden Seiten durch h: 
~ u =a h. h. das Verhältniß zwischen dem Zuwachse der 
Function und dem der Veränderlichen ist von ihrem besondern 
Werthe unabhängig. 
Ich gehe zu der etwas minder einfachen Function über: 
u=ax 2 ; setzt man hier x-J-h statt X, so erhält man: . . 
u'=:a(x2-f-2xhH-h2) und nach Abzug der ersten Gleichung: 
u' — u=2axh-j-ah». Dividirt man auf beiden Seiten durch 
h, so erfolgt: - u - =2ax-|-ah. Hier besteht das Verhält 
niß, zwischen dem Zuwachse der Function und dem der Verän 
derlichen, aus zwei Theilen, wovon der eine von dem besondern 
Werthe der Zuwachse unabhängig, und der andere von h ab 
hängig ist. Gedenkt man sich dieses h fortwährend kleiner wer 
dend , so nähert sich unser Verhältniß fortwährend dem 2 a x, 
womit es erst dann zusammenfällt, wenn Folglich ist 
2 a x die Grenze des Verhältnisses —j~—/ d. h. der Werth, 
dem sich dieses Verhältniß desto mehr nähert, je 
kleiner h angenommen wird, und so nahe bringen 
läßt, als man will. 
Es ist leicht einzusehen, daß der Zuwachs u' — u immer 
zugleich mit h verschwindet, weil nur durch die Veränderung 
der Veränderlichen eine Veränderung im Werthe der Function 
entstehen kann; indessen verschwindet darum ihr Verhältniß noch 
nicht, welches zu der Art von Größen gehört, die in N° 70. 
der Elemente der Algebra angedeutet wurde. 
Macht man u = ax3, so giebt die Substitution von x-^-h 
statt x: u' = a(x-|-h) 3 =ax 3 -j-3ax 2 h-|-3axh 2 -j-ah 3 , 
woraus nach Abzug der ersten Gleichung: 
u' — u = 3ax 2 h-[-3axh- J ]-ah 3 / 
und folglich das Verhältniß zwischen den Zuwachsen 
— —3ax 2 -|-3axh 2 4-a h 2 . 
h 
Auch hier ist Eins der Glieder des Verhältnisses zwischen den 
Zuwachsen von dem besondern Werthe dieser letzteren unabhan-