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Krumme Oberflächen. 
Macht man hier — o, so gibt das Resultat, 
— z Kl + p 2 + q 2 , 
die Lange desjenigen Theils der Normale, welcher zwischen der 
gegebenen Oberfläche und der Ebene xy befindlich ist. 
§. 151. 
Da, der Bedingungen einer Berührung von der zweiten 
Ordnung, sechs sind (§. 148.), so können dieselben nicht immer 
durch die Kugel befriedigt werden, weil die allgemeine Gleichung 
dieser Letzteren nur vier Constanten enthält, nämlich den Halb 
messer und die drei Coordinaten des Mittelpunktes (Trig. rc. 
§. 184.): es kann die Kugel demnach nicht in jedem Sinne 
dieselbe Krümmung haben, wie die gegebene Oberfläche. Um 
diese Krümmung zu messen, muß man zwei verschiedene Krüm 
mungs-Kreise anwenden, die Euler zuerst bestimmt hat, und 
zu denen später Monge durch sehr elegante Betrachtungen gelangt 
rst, die ich jetzt vortragen will. 
Man hat im §. 80. gesehen, daß die Punkte der Abge 
wickelten, oder die Mittelpunkte der Krümmungs-Kreise einer 
krummen Linie, die Grenzen der Durchschnitte der Normalen 
sind; dehnen wir diese Definition auf die Oberflächen aus, 
indem wir die Grenzen der Durchschnitte ihrer aufeinander sol 
lenden Normalen suchen, und nehmen wir daher wiederum die 
im vorhergehenden § gefundenen Gleichungen 
x' — x -j- p (z' — Z) — o (a) 
7 — y + q. ( z ' — z ) = ° (b) 
auf. Die Größen X, y, z, p und q, welche sich auf den Punkt 
der Oberfläche beziehen, welchen wir betrachten, sind für dieselbe 
Normale constant, allein sie ändern ihren Werth, wenn man 
zu einer zweiten Normale übergeht; weil dieser Uebergang aber 
m unendlich vielen Richtungen vor sich gehen kann, nämlich vom 
gegebenen Punkte aus nach allen Punkten, die ihn umgeben, 
so muß man zu gleicher Zeit x, y und z variiren lassen, und 
da man nur den Durchschnittspunkt den ersten und der zweiten 
Normale sucht, so betrachtet man die diesem letzteren Punkte zu 
gehörigen Coordinaten x', y', % als constant. 
Differentiirt man demnach die Gleichungen (a) und C b ), und 
setzt 
dp = rdx-f-sdy, und dq^-sdx-j-tdy 144. u.45.), 
so findet man, 
— dx — p*dx — pqdy -j- (z' — z) (rdx-J-sdy) — o... (c) 
— dy — q 2 dy — p qd x -4- (z' —z) (sdx-j- tdy) — o... (d)