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K ru m ni e Oberflächen. 
Ebene xy, zusammenfallen, so stellen m' und m" die Tangenten 
derjenigen Winkel dar, die die Geraden, welche die Richtungen 
angeben, auf denen man die einander" schneidenden Normalen 
findet, mit der Are der x bilden, folglich sind jene Richtungen 
aufeinander senkrecht. *) 
§. 152. 
Man sieht auch, daß wenn man, durch die Are der z, welche 
gegenwärtig mit der Normale M G zusammenfallt, und durch 
jede der den Werthen m' und m" entsprechenden Tangenten M N' 
und Mn', Ebenen hindurchlegt, dieselben die gegebene Oberfläche 
gemäß zwei krummen Linien durchschneiden werden, deren Oscu 
lations - Kreise auch diejenigen der Oberfläche seyn werden, weil 
sie zwei Normalen mit der Letzteren gemein haben, während alle 
andere krumme Linien nur Eine solche gemeinschaftliche Normale 
haben. 
Mit den Halbmessern dieser Kreise werden die Krümmungen 
der gegebenen Oberfläche gemessen; ihr Ausdruck ist aber offenbar 
derjenige des Abstandes, 
^( x '— x ) 2 -Hy' — y) 2 +0' — z ) 2 , 
des fraglichen Punktes der Oberfläche von dem Durchschnittspunkte 
der Normalen. Substituirt man die aus den Gleichungen (a) und 
(b) gezogenen Werthe von x' — x und y' — y, so findet man 
( z ' — z)Kl-f-p 
worin man nur noch, für z' — z, dessen aus einer der Gleichun 
gen (c) unb (d) gezogenen Werth zu substituiren hat. Allein man 
gelangt zu einem von m unabhängigen Ausdrucke, wenn man 
zuerst -p aus jenen beiden Gleichungen eliminirt, wodurch mau 
erhält: 
— <l + p 2 )-f-(2' — z) r P q — —Z) s 
pq —(z' —z)s — (1 + <1 2 ) + (*'— z )t' 
dann __ 
(z'— Z )T l+p 2 + tf 
setzt, weßhalb 
ri-f P 2 -Hq 2 
*) Es würde m unbestimmt bleiben, wenn man überdieß, und 
r — t = o , hatte, welches bei der Kugel Statt findet, deren sämmt 
liche Normalen durch ihren Mittelpunkt gehen, den man hier in der 
Are der z, annimmt.