2-icro!x
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K r u in me O berflä ch e n. 177
und hierauf diesen Werth von z—z substituirt. Denn schafft
man alsdann die Nenner fort, und ordnet nach ö, so erhalt man
die Gleichung:
„(i-t — 4 a ) d a — [(I + P’) t — ipqs + (i + q 2 ) r] d Kl + p 2 -j- q 3
+ (l-f-p- + q 2 ) i ”o“ (f),
deren Wurzeln die Halbmesser der beiden Osculations-Kreise sind.
Da die in Function der Koordinaten x, y und z gegebenen
Werthe von m, bei jedem Punkt der gegebenen Oberflache, zu
gleich mit jenen Coordinaten variiren, so erfolgen daraus die bei
den Differential-Gleichungen,
dy — m'dx, dy = m"dx,
welche auf der Ebene xy zwei krumme Linien bestimmen, die durch
den Punkt M' Fig. 3i. gehen, und die Projectionen derjenigen
sind, die man auf der Oberflache verfolgen muß, um einander
schneidende Normalen zu finden.
Jeder Punkt M der gegebenen Oberflache befindet sich auf zwei
solchen krummen Linien; diejenige von diesen Letzteren, welche dem
kleinsten der Werthe von d entspricht, heißt die Linieder größ
ten Krümmung, und die andere die Linie der kleinsten
Krümmung.
Wenn die Werthe von 6 dasselbe Zeichen haben, so sind jene
beiden krummen Linien in demselben Sinne gekrümmt, so wie in
entgegengesetztem, wenn die Zeichen der 6 verschieden sind.
Endlich, wenn man x, y, z und m, zwischen der Gleichung
der gegebenen Oberflache, und zwischen den Gleichungen (b), (c),
(H) und (e) (§. 151.), eliminirt, so erhält man, durch die Coor
dinaten x', y' und z', die Gleichung derjenigen Oberflache, welche
der Ort aller Mittelpunkte der Krümmungs-Kreise der gegebenen
Oberflache ist, und welche im Allgemeinen aus zwei Theilen beste
hen wird, wovon der eine alle Mittelpunkte der größten Krüm
mung , und der andere alle Mittelpunkte der kleinsten Krümmung
enthalten wird. *)
*) Man wird im B. I. des „Tralie etc.“ in 4to S. 580. die Formel
finden, welche dazu dient, vermittelst jener Krümmungen, diejenige
eines durch eine beliebige Ebene gebildeten Durchschnittes der Ober,
flache zu finden.