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Besondere Punkte
1) . 2E ,
F + T “ + “
bei jedem Werthe von a dasselbe Zeichen beibehält; dieses Letztere
wird Statt finden, wenn das Polynom, nachdem es gleich
Null gesetzt worden, nur imaginäre oder gleiche Werthe für a
zulaßt: allein da diese Werthe ün Allgemeinen durch
— E d- fE* -FD
ausgedrückt werden, so werden sie imaginär seyn, wenn E-<FD,
und gleich, wenn E- = FD,
Ohne jene Bedingungen wird weder ein Maximum noch
ein Minimum vorhanden seyn; und da dieselben zunächst er
fordern , daß E und D dasselbe Zeichen haben, so wird, wenn
sie erfüllet werden, das Zeichen der Größe (a) bloß von dem
jenigen des Koefficienten F abhangen; man wird also ein Mi
nimum haben, wenn das Zeichen von F positiv, und ein Maxi
mum, wenn es negativ ist.
Euler gibt in seinen „Institutiones Calculi differentlalis“
nur eine einzige Bedingung an, nämlich, daß I) und F dasselbe
Zeichen haben sollten; Lagrange zeigte zuerst, daß diese Bedingung
allein nicht hinreicht, und lieferte über diesen Gegenstand eine
Theorie, an deren Vollständigkeit nur noch die Untersuchung des
Falles: E J = FD fehlte, den seitdem H. Frankens erörtert hat. *)
Wenn die Koefficienten der zweiten Ordnung, zugleich mit
denen der Ersten, verschwinden, so wirb nur dann ein Maximum
oder ein Minimum vorhanden seyn, wenn die Koefficienten der
dritten Ordnung auch verschwinden, und die Glieder der vierten
eine Größe bilden, deren Zeichen keineswegs von a abhangt, d. h.
wenn das Polynom in a, welches alsdann den vierten Grad er
reichen würde, als eine Gleichung dieses Grades betrachtet, nur
imaginäre oder gleiche Wurzeln enthält.
§. 156.
Als analytisches Beispiel habe ich folgendes gewählt, welches
dem des tz. 103. analog ist. Die Größe a in 3 solche
Theile x, a — x — ? zu theilen, daß deren Pro
duct x ,n y 11 (a — x — y)p eilt Maximum wird.
Man hat alsdann:
Stehe S. 31. des E. Ui. „Traue de.“ in 4io.