184 Beson dere Punkte der krum. Oberflächen re. 
Die Größen D und F sind beide negativ, und man kann sich 
leicht überzeugen, daß sie die Bedingung E a <DF erfüllen, 
wenn die Exponenten m, n und p positiv sind: folglich hat man 
das verlangte Maximum erhalten. 
tz. 157. 
Zur Anwendung auf die Geometrie, diene die Bestimmung 
des kürzesten Abstandes zwischen einer gegebenen Ebene, und 
zwischen einem gegebenen Punkte. 
Es seyen x, y, z die unbekannten Coordinaten der Ebene, 
und x', y', z' die bekannten des Punktes; so wird der Abstand 
des Punktes von der Ebene durch 
xx —T (X—X) a + (y' — y) 2 + (z' — z) 5 
ausgedrückt werden, welcher Ausdruck, wegen der, durch die 
Gleichung der Ebene, zwischen der Ordinate 2 und den Abscissen 
x und y gestifteten Abhängigkeit, als eine Function der beiden 
letzten Veränderlichen angesehen werden muß. Ist die Gleichung 
der Ebene 
z — Ax-j-By-j-D, 
so geht daraus hervor, 
dz=r Adx + Bdy; 
und, nach Weglassung der Nenner in den Werthen von 
du . du 
-T-- und von -7—, 
dx dy' 
findet man alsdann die beiden Gleichungen: 
x' — x + (z' —z)A = o, y' — y -J- (z' — z) B = o r •) 
welches genau diejenigen der auf der Ebene senkrechten Gera 
den sind. 
Wenn die Ebene, im Punkte (x, y, z), eine krumme Ober 
fläche berührt, für welche, 
d z — p d x-f- q d y / 
Statt findet, so werden obige Gleichungen, weil alsdann 
^ p, — <1, 
in diejenigen der Normale jener Oberfläche übergehen (§. 150.) 
*) Nach der Gaußischen Methode finde ich diese Resultate schneller auf 
folgendem Wege: 
— A dx.— B dy + dz = o 
2 (»' x) d x 4- 2 (>' — y) d y -f 2 Q.' — v) dz —o 
2 (V — x) 2(y'—\) 2(V ~ /.) 
— Ä ' !i ' 1 
* = — A j'-y^-B (z - z).