Linien von doppelter K r ü m m u n g rc. 
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Von der Anwendung der Differential-Rechnung 
auf Linien von doppelter Krümmung f und von den 
abwickelbaren Oberflächen. 
h. 158. 
Man weiß (Ing. rc. §. 193.), daß sich zwei Gleichungen 
zwischen drei Veränderlichen, durch eine Linie im Raume, dar 
stellen lassen, während eine einzige Gleichung zwischen drei Ver 
änderlichen einer Oberfläche angehört. Will man die Differen 
tial-Rechnung auf die krummen Linien von doppelter Krümmung 
anwenden, so muß man diese Letzteren als Grenzen solcher Po 
lygone ansehen, worin keine drei aufeinander folgende Seiten in 
derselben Ebene liegen können. Die Verlängerung einer dieser 
Seiten gibt die Tangente, so wie es bei den ebenen krummen 
Linien der Fall ist. 
So ist die Tangente MT, der krummen Linie XM, Fig. 38.,Fig.ns. 
diejenige Gerade, welche durch die Punkte (x, y, z) und (x + dx, 
y-}-tly, z-fdz) geht, und die Gleichungen ihrer Projectionen 
auf die Ebenen xy und xz werden folgende seyn: 
y'— Y = — X), z'—z —^ (X —X) (Trig.JC. §.179.), 
welche offenbar den Linien M'T' und M"T" angehören, die die 
Projectionen M' X' und M" X" der gegebenen krummen Linie 
berühren (§. 68.) Nun hat man nur noch in jenen Gleichungen, 
für y, z und deren Differentiale, die Werthe derselben, wie sie 
aus den Gleichungen der Projectionen der gegebenen krummen 
Linie hervorgehenzu substituiren. 
§. 159. 
Zwei aufeinander folgende Tangenten TM und tm bestim 
men die Ebene, welche durch zwei aufeinander folgende Seiten 
geht, d. i. die Osculations- oder Krümmungs-Ebene. 
Man kann die Gleichung dieser Letzteren dadurch finden, daß 
man dieselbe durch drei aufeinander folgende Punkte der gegebe 
nen krummen Linie bestimmen läßt. Es sey nämlich ihre Glei 
chung von der Form: 
z' A x' -J- B y' -j- D, 
so muß man zunächst haben : 
7. — A x B y -f- D, 
weil sie den Punkt (x, y, z) enthalten muß; und, damit sie