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Linien von doppelter Krümmnng uv 
die beiden folgenden Punkte auch enthalte, so muffen ferner das 
Erste und das zweite Differential ihrer Gleichung mit den ent 
sprechenden der Gleichungen der gegebenen krummen Linie über 
einstimmen. 
Man könnte Eins der Differentiale dx, dy, oder dz als 
konstant annehmen (§. 133.); allein das Resultat wird symme 
trischer seyn, wenn man alle zugleich als Veränderliche behan 
delt. Man erhalt alsdann, 
dzrrAdx + Bdy, d 2 z = A d 2 x-j-B d 2 y, 
woraus man zieht: 
^ —dy d s z -f- d z d 2 y ^ —dz d 2 x + d x d*z 
dxd 2 y— dyd 2 x' dxd 2 y — (1 j d 2 x ’ 
subtrahirt man hierauf die Gleichungen 
z = A x B y -f- £), 
z'^Ax'-f-By'-f D, 
von einander, setzt für A und B die oben gefundenen Werthe, 
schafft die Nenner weg, und bringt alle Glieder auf dieselbe 
Seite, so erhält man folgende, ihrer Form wegen merkwürdige, 
Gleichung der Krümmungs - Ebene: 
,,(x' — x) (d y d 2 z — d z d 2 y) -j- (j — y) (d z d 2 x — dxd ! z) 
_j_ ( z ' _ z) (dx d 2 y — dy d 2 x) = o 
Substituirt man hierin, für zwei der Coordinaten x, y, z, 
deren Werthe, wie sie aus den Gleichungen der gegebenen krum 
men Linie hervorgehen, so erhält man die, von der bloßen dritten 
Eoordinate abhängige, Gleichung der Krümmungs-Ebene. 
Hier bietet sich eine Gelegenheit dar, dasjenige zu bestätigen, 
was man am Ende des §. 132. liest; denn, wenn man zuerst y 
und z als Functionen von x ansieht, dann 
dy — pdx, d 2 y = qdx 2 , dz —j/dx, d 2 z — q' d x ! 
macht, und hierauf die drei Veränderlichen als Functionen einer 
vierten t ansieht, so hat man, nach dem tz. 131., 
d a y = q d x 2 -{- p d 2 x, d 2 z — q' d x 2 -}- p' d 2 x, 
welche Werthe in der Gleichung der Krümmungs-Ebene subfti- 
ruirt, d 2 x verschwinden machen, und zu demselben Resultate 
führen, als hätte man dx constant angenommeu. 
tz. 160. 
Man bemerke nebenbei, daß das Differential des Bogens 
unserer krummen Linie durch 
, ,jf d x 2 -j- d y 2 -f- dz 2 (<