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Linien von doppelter Krümmit ng rc. 
andern Oberflächen, bei denen die Berührung mit einer Ebene, 
im Allgemeinen nur in Einem Punkte Statt findet. 
tz. 162. 
Eine Normale, auf eine krumme Linie im Raume, zuziehen, 
ist eine unbestimmte Aufgabe; denn es gibt eine unendliche An 
zahl von_ Geraden, welche durch den gegebenen Punkt gehen, 
und zugleich auf der Langente senkrecht sind: der Inbegriff aller 
dieser Geraden bildet eine auf die Tangente senkrechte Ebene, 
welche Normal-Ebene genannt wirix Gibt man den Glei 
chungen der Tangente (§.158.) die Form: 
2), 
so sieht man, daß die Gleichung der Normal-Ebene folgende 
ist: 
(x — x) — -f (y* — y) 
o (Trig.rc. §. 182.), oder: 
,, (x'— x) dx + (y' —y) dj + («' — z) dz = o“ . . . . (1). 
Betrachten wir nun die Normal-Ebene für den folgenden 
Punkt der krummen Linie im Raume; es ist klar, daß dieselbe 
die so eben betrachtete schneiden wird, und daß auf diesem Durch 
schnitte die Coordinaten x', j , z nicht variirt haben werden, 
obschon x zu x-j-.d x geworden ist; man wird also alsdann haben: 
(x' — x) d 2 x -j- (y — y) d 2 j -j- (z — z) d 2 z — d s 2 = o .... (2), 
wenn man zur Abkürzung, 
dx 2 -s- dy 2 -j- dz 2 = ds*, 
fetzt, und das System der Gleichungen (1) und (2) drückt den 
erwähnten Durchschnitt aus. Verbindet man dieses System mit 
den Gleichungen der gegebenen krummen Linie, um x, y und » 
zu eliminiren, so erhalt man eine Gleichung, die derjenigen Ober 
fläche angehört, welche auf ähnliche Art die Grenze der Aufeinan 
der folgenden Durchschnitte der Normal-Ebenen ist, wie die Ab 
gewickelte der ebenen krummen Linien die Grenze der aufeinander 
folgenden Durchschnitte ihrer Normalen ist (§. 80.). 
' Diese Oberfläche ist offenbar abwickelbar; denn sie ist, so 
wie die durch die Tangenten gebildete Oberfläche, aus geraden 
Linien zusammengesetzt, welche sich, je zwei, einander schneiden, 
weil, wenn man der gegebenen krummen Linie ein Polygon sub- 
stituirt, der Durchschnitt der Ersten Normal-Ebene und der 
zweiten, so wie der zweiten und der dritten, beide in der zweiten 
seyn werden, und so nacheinander. 
Die Analyse beweiset dieses ebenfalls; denn verwandelt man 
i in ß, wie in dem vorhergehenden §., nimmt d« als konstant