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Die Erste, welche noch fort bestehen würde, wenn man die
Oberflache ihrer Tangenten oder ihrer Krümmungs-Ebenen in
eine Ebene entwickelte, ist die demjenigen Kreise zukommende,
welcher die Grenze, aller durch drei aufeinander folgende Punkte
jener krummen Linie gehender Kreise, und folglich in der Krüm
mungs-Ebene enthalten ist. Der Mittelpunkt jenes Kreises,
welcher offenbar der Durchschnitt der letzten Ebene mit den beiden
aufeinander folgenden Normal-Ebenen ist, wird erhalten werden,
wenn man die Gleichung des §. 159. zu dem System der Glei
chungen (1) und (2) des vorhergehenden $. hinzugefügt.
Vermittelst dieser Gleichungen bestimmt man die Werthe von
x' — x, y' — y und z' — z
um sie in dem Ausdruck
} r (x — x) s + (/ — y) 2 + (z' — z) a
zu substituiren, welcher derjenige des gesuchten Halbmessers, den
ich mit u bezeichnen will, seyn wird.
Setzt man zuerst, zur Abkürzung,
d x d 2 y — d j d 2 x == Z,
d z d 2 x — dxd 2 z = Y ,
d y d 2 z — d z d 2 y — X,
indem man jeden dieser Ausdrücke durch denjenigen Buchstaben
andeutet, welcher nicht in ihm vorsi'ndlich ist, so wird die Gleichung
der Krümmungs-Ebene zur folgenden:
X(x' - x) + Y(y - y)4- Z(z' - z) = o;
und verbindet man dieselbe mit derjenigen der Ersten Normal-
Ebene, (s. den vorhergehenden^), so zieht man daraus zuerst
die Werthe von x' — x, und von y' — y in z' — z, welche
man in die Gleichung der zweiten Normal-Ebene einführt, die
geben wird:
, Xdy-Ydx^,
D
wenn
D = (Ydz — Zdy) d»x + (Zdx—Xdz) d 2 y -KXdy- Ydx) d*z,
und dann
, (Ydz — Zdy) ds 2
D
y—
{ Z d x — X da) d s 2 >
D '*
ynd substituirt man diese Werthe in dem Ausdrücke von u*, so
findet man:
s (XdyYdx) 1 + (Zdx —Xdz) 2 -hCYdz — Zdy)] d 5*
u 2 — — Ö-