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Vorbegriffe rc.
weise genähert hat; und zwischen dieser Grenze
und der Function, wovon sie herrührt, findet eine
gegenseitige Abhängigkeit Statt, wodurch die eine
dieser Größen aus der andern ermittelt wird.
§. 5.
Ich werde zuvörderst die Zeichen kennen lehren, womit man
die neuen Beziehungen bezeichnet, welche durch die vorhergehen
den Begriffe zwischen den Größen festgestellt werden. Um ihre
Faßlichkeit zu zeigen, nehme ich wieder die in §. 4. schon be
trachtete Function u=ax 3 vor.
Indem man x-j-ll statt x setzte, und die Gleichung u = as 5
dann abzog, erhielt man in dem Ausdruck:
u/ — u = 3 a x 2 h -(- 3 a x h 2 -J_ a li 3
die Entwickelung der Differenz der beiden Zustände von u,
geordnet nach den Potenzen des der Veränderlichen x gegebenen
Zuwachses h; und die Grenze 3ax 2 des Verhältnisses, zwischen
den Zuwachsen u' — u und h, hing blos von dem Ersten
Gliede 3 a x 2 h jener Differenz ab (§. 4.) Dieses Erste Glied,
welches nur ein Theil der Differenz ist, wird Differential
genannt, und durch du bezeichnet, indem man sich des An
fangsbuchstabens 4 dieses Namens als Kennzeichen bedient; man
hat demnach in dem angezogenen Beispiele: d u—3 a x 2 h.
Um hieraus zur verlangten Grenze 3ax 2 überzugehen, hat
man durch h zu dividiren, wodurch man erhält: —3 a x-.
Allein statt h kann man auch, der Gleichförmigkeit der Bezeich
nung zu Gunsten, dx schreiben, weil bei der einfachen Function
x von der Veränderlichen x, x' = x-j-h, x'— x=h und folg
lich Differenz und Differential hier zusammenfallen. Man schreibt
du
daher: du = 3ax 2 dx, — oax 2 .
Der erste Ausdruck wird das Differential von u oder von
ax 3 seyn, und der zweite, der der Grenze des Verhältnisses
der gleichzeitigen Zuwachse der Function und ihrer Veränderlichen
zukommt, wird mit dem Namen „Differential- Coeffi
cient" belegt werden, weil er der Multiplicator von dx in
der Bestimmung des Differentials du ist. Es folgt hieraus,
daß man die Grenze des Verhältnisses der Zu
wachse, oder den Differential - Coefficienten er
hält, wenn man das Differential der Function
durch jenes der Veränderlichen dividirt, so wie um
gekehrt das Differential (der Function), wenn man
die Grenze des Verhältnisses der Zuwachse, oder
den D ifferential - Coefficienten mit dem Diffe
rential der Veränderlich en multiplicirt.