Linien von doppelter Krümm ung rc.
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Hierauf überzeugt man sich bald, daß
Xdx -j- Ydy -j- Zdz = o,
und wenn man das Quadrat dieses Ausdrucks dem Ersten Factor
des Zählers von u 2 hinzugefügt, so wird man erhalten:
(X- -i- Y 2 -f Z 2 ) d S 6
D* '
Entwickelt man den Werth von D, so findet man, daß derselbe
sich auf X 2 -[-Y 2 + Z 2 zurückführen laßt: man erhält demnach
zum End-Resultat:
d s 6
,]2 — (I
" ~ X 2 + Y- + Z 2 *
Da der Durchschnitt der beiden aufeinander folgenden Nor
mal-Ebenen auf der Ebene desjenigen Kreises, der durch drei
aufeinander folgende Punkte der krummen Linie geht, senkrecht
steht, so ist er die Are dieser Kreis-Ebene, und jeder seiner
Punkte kann dazu dienen jenen Kreis zu beschreiben, indem man
die Distanz jedes Punktes von denen des Kreisumfangs zum
Halbmesser wählt; allein unter allen diesen Halbmessern zeichnet
man denjenigen, welcher in der Kreis-Ebene selbst liegt, und
welchen wir oben gesunden haben, dadurch aus, daß man ihn
den absoluten Krümmungs -Halbmesser nennt.
Die Werthe von x', y' und z' werden die Lage des Krüm
mungs-Mittelpunktes bestimmen; und eliminirt man x, y und z,
so erhält man die Gleichung der von allen solchen Mittelpunkten
gebildeten krummen Linie; allein diese letztere krumme Linie ist
nicht die Abgewickelte der gegebenen, wenn diese gegebene nicht
eben ist.*)
Da. die vorhergehende Formel, in einem besondern Falle,
bie Krümmung des Durchschnittes einer Oberfläche und einer
beliebigen Ebene darbietet,, so schließt sie sich an dasjenige an,
was §. 151. über die Krümmung der Oberflächen vorgebracht
wurde. Ich will mich aber hier auf den Fall beschränken, wo
die schneidende Ebene durch die Normale der gegebenen Ober
fläche hindurchgeht; zur Ebene xy wähle ich die berührende
Ebene, und zum Anfangspunkt der Coordinaten den Punkt,
wo die Krümmung gesucht wird. Durch diese Annahme wird,
d z = o, und auch d 2 y = o, weil wegen des Senkrechtstehens
der schneidenden auf der berührenden Ebene, der Durchschnitt
der ersten und' der Oberfläche sich in gerader Linie auf der zwei
ten projicirt. Macht man hierauf dx conftant, so erfolgt daraus,
*) Siehe B. I. S. 625. und 630. des „Traiu? etc.“ in 4to.
Lakroix Different. 13