Vorbegriffe rc.
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Diese Bemerkung ist deshalb wichtig, weil es Functionen
giebt, deren Differential-Coefficient sich leichter finden läßt, als
ihr Differential. Denn um unmittelbar zu diesem letztern zu
gelangen, muß man in der gegebenen Function x -\- d x statt x
schreiben, das Resultat nach Potenzen von dx entwickeln, in
dem man nicht über das Glied hinausgeht, worin die Erste Po
tenz vorkommt, und alsdann den ersten Ausdruck abziehen.
Man sieht, daß diese Methode voraussetzt, daß man die gege
bene Function zu entwickeln wisse, wozu fremde Mittel nöthig
seyn können, deren uns die Betrachtung der Grenzen am öfter
sten überhebt.
Zufolge des Vorhergehenden kann man sagen, daß die Dif
ferential - Rechn ung die Bestimmung der Grenze
sey, des Verhältnisses der gleichzeitlgen Zuwachse
einer Function und ihrer Veränderlichen.
§. 6.
Man muß sich recht hüten, das Differential von u mit
der Differenz u' — u zu verwechseln. Denn in dem Beispiele
u = ax3 des §.4. ist das erste 3ax 2 h, und die letztere
3ax 2 1i-j-3ax1i2-fl-a1i^;
allein man sieht, daß, wenn h sehr klein ist, das Differential
3ax 2 h den bedeutendsten Theil' der Differenz ^ —-u. ausmacht,
und daß das Differential sich immer desto mehr der Differenz
nähert, je kleiner h angenommen wird. Im allgemeinen be
geht man einen desto geringeren Fehler, wenn man
das Differential für die Differenz gelten läßt, je
kleiner der Zuwachs der Veränderlichen angenom
men wird.
Dieselbe Folgerung fließt auch aus der Betrachtung der Gren
zen; denn, wenn das Verhältniß der gleichzeitigen Zuwachse
u' — u und h. eine Function p zur Grenze hat, und man bei
einem beliebigen Werthe von h hat: —-jp-— P, welches ei
nerlei ist mit: p-s-(? — p); so muß die Größe P —p
zugleich mit h abnehmen und verschwinden, wenn h — o: die
Gleichung - u --~=p wird demnach desto genauer seyn, je klei
ner der Zuwachs h seyn wird; allein die letzte Gleichung bringt
mit sich: u' — u = p h. *)
*) Auf diesen Satz gründete Lcibnitz die Differential-Rechnung, indem
er die Differentiale als unendlich kleine Differenzen ansah.