Wiederholte Differentiationen. 
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wird, mag man dx' = dx haben, wenn man x als die Verän 
derliche ansieht, oder dx' — dy, wenn y die Veränderlicheist. *) 
Dieses vorausgesetzt, setze man: 
f (x + y) = L + M y " -f- N y ^ P y * -j- 2C. 
wo L, M, N, P, ic. unbekannte Functionen von X sind, die kein 
y enthalten, und a, ß, y, rc. unbestimmte Exponenten vorstellen. 
Es ist hier zuvörderst klar, daß keiner der Exponenten negativ seyn 
kann; denn da ein Glied von der Form My“ si = ^ z. B., un; 
r a 
endlich groß würde, wenn y — o, so würde es die zweite Seite 
der obigen Gleichung unendlich groß machen, während die erste 
Seite nur f(x) würde. Allein, wenn alle Exponenten positiv 
sind, so wird man bald finden, 
L=f (x); bildet man hierauf den Dif 
ferential - Coefficienten der obigen Entwickelung von f(x+y), 
einmal, indem man x, und ein anderes Mal, indem man y 
als die Veränderliche ansieht, so erhält man die zwei folgenden 
Resultate, 
dL dM ß 
di + d7 y 
V 
+ rc., 
ßMy C + /5Ny^ -j-^Py^ -j- rc., 
welche nach obigem Beweis identisch seyn müssen, welches auch der 
Werth von j seyn mag. Dieses kann aber nur dann statt finden, 
wenn in beiden Ausdrücken gleiche Exponenten und Coefficienten 
der y vorkommen. Allein, wenn die Exponenten in dem ersten 
Ausdrucke steigend geordnet sind, so sind sie dieß auch in dem zwei 
ten : man hat daher 
a — l = o, ß — 1 = «, y—i—ß, rc., 
woraus folgt, 
« = 1, /5 = 2, y=3 f rc.; 
*) Ich möchte folgenden Beweis nicht unerwähnt lassen. 
Nach §. 9. ist: d.f (x+y) df (x+y) d (x+y) d.f (x+y) j 
d x d (x+y) d x d (x+y) ' 
Und d f (x+y) df (x+y) d (x+y) di (x+y) ^ . 
d y d (x+y) dy d (x+y) ' 
d f (x+y) d f (x+y) 
d x d y 
B. 
folglich offenbar