22 Wiederholte Differentiationen. 
und die Vergleichung der Coefficienten gibt alsdann die Glei 
chungen , 
M -^ N- 1 ^ P-ii? je 
dx' 2 dx' 3 dx' 
Setzt man jetzt 
f(x)= u und £(x+y) = u/ / 
so erhält man sogleich 
1 du „ 1 d 2 u _ 1 d 3 u 
L = u M=- -j , N=-t—tt j— 
' 1 dx' 1.2 dx 2 
und endlich, 
1.2.3dx 3 ' 
rc., 
d 3 
du y d 2 u y 2 .v. ~ , 
,,u ==U H“^~ “£ zc,<< 
Diese Formel nennt man den Taylorschen Lehrsatz, weil 
der Engländer Taylor sie zuerst erfand. *) 
§. 21. 
Dieser Lehrsatz führt sogleich zur Entwickelung von 
(x+y) n ; denn in diesem Falle 
du d 2 u 
ist 
:nx‘ 
dx 2 
:n(n— 1) Xir 
re., 
' dx 
woraus man schließt 
„(x+y)"—x n -j-^x n -+ 2 y 2 
n(n — l)(n—2) 
-!—-— “X n “ y + rc." 
Da die früher aufgestellten Regeln der Differentiation, die 
Entwickelung der itten Potenz des Binoms, keineswegs voraus 
setzen, so kann man dieselbe jetzt als erwiesen ansehen, für alle 
Falle, worin der Exponent n ganz oder gebrochen, positiv oder 
negativ ist. 
*) Der obige Beweis ist im Grunde derselbe, den Lagrange in den Me 
moiren der Berliner Akademie, Jahrgang 1772, S. 187, und seit 
dem, in der Theorie der analytischen Functionen, gab; allein die An 
wendung der Zeichen der Differential-Rechnung verkürzt und verein 
facht ihn sehr. 
Da der Taylorsche Lehrsatz die Grundlage der Anwendung der Dif 
ferential - Rechnung geworden ist, so hat man viele Beweise desselben 
geliefert; ich habe deren mehrere in meinem „Irak« du Calcul dif- 
fe'rentiel ot du Calcul integral, in 4°«" mitgetheilt. Siehe die 
2te Ausl. Band I. S.160 und 277, und Band III. S. 60 , 396 und 
die Rote von 399.