24 Wiederholte Differentiationen. 
welche die Entwickelung von k(x) nach steigenden Potenzen 
von x ausdrückt. 
Macht man u — (a+x) n , woraus zunächst folgt: 
ck u , . . d 2 u , , 
+ — = n(n — l)(a + x)“-*, 2C., 
die (u mitgerechnet), wenn x—o, übergehen in: 
U — a“, U 7 = na n — 1 , U" 2 =n (n — 1) a n - 2 2c., 
so erhält man wiederum: 
n ( a- t- x ) n== a n -f-^a n — X x ~2~^ an “ 2 x 2 -f* rc." *) 
§. 23. 
Der Taylorsche Lehrsatz gibt auch die Entwickelung des neuen 
Zustandes einer beliebigen Function n — f(x), wenn in dersel 
ben x in x-j-K übergeht. Denn verwandelt man (in §. 20.) y in 
h, so erhält man: 
*) H. Peacock hat die Bemerkung gemacht, daß die obige Entwickelung 
von f(x) irriger Weise dem Englischen Geometer Mac-Laurin zuge 
schrieben werde, da sie schon 1717 von seinem Landsmann Stirling 
(S. desien „ lineae tertü ordinis Newtonianae“, Prop. III.) ge 
funden worden. Der von Stirling selbst gegebene Beweis weicht von 
dem Folgenden nur in der Bezeichnung ab. Es sey 
u = A + B x + C x2 + D x3 + E x 4 + rc., 
rei) A, B, C, D, E rc. constante und unbestimmte Coefficienten sind; 
geht man zu den Differential - Coefficienten über, 
= B + 2 Cx + 3 Dx 2 4* 4 E x3 + rc., 
d x 
d2 u 
—== 2C+2.3DX + 3.4Ex2+ rc., 
cU u 
1.2.3D+2.3.4Ex+ K., 
rc., und macht in ihnen, so wie in u, x = o, indem man 
die Werthe, welche die Function und ihre Differential - Coefficienten, 
in ihrer nicht entwickelten Form, alsdann annehmen, mit II, ü', U", 
ü'" rc. bezeichnet, so erhält man 
A = U, B=iü', C = ^ü", rc., 
und folglich: