Transcendente Functionen.
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macht man x—o, so erfolgt 17—1 und
U'==o, U"=—1, U"'=o, U"”—i, rc.,
welches geben wird
4 X? , X *
n cosx — 1 ^ 2*1 2 3 4
Diese beiden Formeln, deren Gesetz sehr klar und sehr einfach
ist, bieten eine der genauesten und kürzesten Methoden dar, den,
einem gegebenen Bogen, entsprechenden Sinus oder. Cosinus zu
berechnen, besonders wenn der Bogen nicht sehr groß ist. Es las
sen sich analoge Formeln für die Tangente und die übrigen trigono
metrischen Linien auffinden; allein das Gesetz dieser letzteren For
meln ist minder einfach, als dasjenige jener obigen, und ihre An
wendung gewährt weit weniger Bequemlichkeiten, als die Rela
tionen, welche die Tangente, Secante rc., vermittelst des Sinus
und Cosinus, bestimmen. Ich will daher nicht bei ihnen verwei
len, und nur noch bemerken, daß die ersteren, welche späterhin
immer convergent werden mästen (tz. 27.), sich auch auf Bogen be
ziehen lassen, welche den Umkreis übertreffen.
§. 38.
Man könnte auf demselben Wege, wie oben, die Entwickelung
des Bogens durch seinen Sinus oder durch seine Tangente, erhal
ten; allein da sich hier die Ausdrücke der aufeinander folgenden
Differential - (Koefficienten immer mehr verwickeln, weßhalb ihr Zu
sammenhang schwer sichtbar ist, so wollen wir folgendes Verfah
ren anwenden, welches von diesem Uebelstande frei ist.
Da der Differential-Coefficient des Bogens, wenn man den
Letzteren als Function seines Sinus ansieht, folgender ist
ckx
d u
= (1 —u 2 ) ^ (§. 36.),
so kann man ihn nach der Formel des Binoms (§. 21.) in eine
Reihe entwickeln; und nimmt man mit den Zahl- Koefficienten
keine Reductionen vor, so findet man
Da diese Entwickelung nur gerade Potenzen von u enthält, so
folgt daraus, daß diejenige von x nur ungerade enthalten kann,
und daß man folglich annehmen müsse
X— Au-j-Bu 3 -f-Cu s -{-Du 7 -{- K.f
wo deßhalb kein von u unabhängiges Glied vorkommt, damit der
Bogen x verschwinde, wenn u—o. Differentiirt man jetzt, so
erhält man