: A -jr 3 B ii 2 -J“ 5 C u 4 -f- y D u® -J- ic. , 
und vergleicht man dieses Resultat mit der ersten Reihe, so fin 
det man 
A=l, 3B = ^, 5C; 
1.3 /yT _ 1.3.5 
2.4' 7 “2.4.6' lc *' 
woraus folgt 
u 1 u 3 1 3 u s 1 3 5 u 7 
,, x= j -p ^ —‘"2*4 5*'^'2*4*6 T—> 
Da man nicht annehmen darf u>l, so sieht man, daß diese 
Reihe keinen den Viertelkreis übertreffenden Werth von x geben 
könne; weßhalb dieser Ausdruck des Bogens durch seinen Sinus 
minder allgemein ist, als es die obigen Ausdrücke des Sinus und 
des Cosinus durch den zugehörigen Bogen sind. 
Um einen Bogen durch seine Tangente auszudrücken, ent 
wickele man zuerst 
dx 1 ; = (! + «>)- (§.36.), 
welches gibt 
dx 
= 1 — u 2 + u 4 — u 6 + ic.; 
und nimmt man an, es sey 
x=Au-(-Bu 3 + Cu s + Du 7 -f ic.', 
woraus hervorgeht 
=A-f-3Bu 2 -J-5Cu 4 +7D u 6 + ic., 
so erfolgt 
XI 3 u s u 7 , 
■3 + T~7 + 1C -' 
Diese letzte Entwickelung gibt einen merkwürdigen Ausdruck 
für den Bogen o^,5 (ein halber Quadrant), dessen Tangente be 
kanntlich der Einheit gleich ist; denn setzt man u=l, so erfolgt 
ic. 
Diese Reihe ist zu wenig convergent, um bei der Berechnung 
angewandt zu werden. Allein man kann denselben Bogen in meh 
rere Theile zerlegen, deren jeder eine Tangente hat, die kleiner ist 
als 1, und sich demnach durch eine sehr convergente Reihe wird 
ausdrücken lassen. Der Englische Geometer Machin fand, daß 
der Bogen o c i, 5 gleich ist, dem Vierfachen des Bogens, welcher 
{ zur Tangente hat, vermindert um denjenigen Bogen, welcher