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Funct. von mehreren Veränderlichen. 47
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ob mm zuerst
>r od mm ib
Vergleicht man, in diesen beiden Entwickelungen, die Glieder,
welche dieselben Potenzen sowohl von h als von k enthalten, so
findet man nachstehende Folge von Gleichungen:
d 2 H
Cu
P
dy dx
d x d y '
d 3 u
d 3 u
dy d x 1
dx 2 dy'
d 3 u
d 3 u
d y 2 d x
dxdy 2 '
d n + m u
d m + n u
d y n d x m
d x m d y“
rc.
rc.
Aus der ersten geht hervor, daß jeder Differential-
Coefficient, der 2ten Ordnung, einer Function
von zwei Veränderlichen, der dadurch entstand,
daß man zuerst in Bezug aus die eine und hieraus
in Bezug auf die andere Veränderliche differen-
tiirte, dem auf ähnliche Weise bei umgekehrter
Ordnung entstandenen gleich ist.
Es sey z. B.
u — x m y n ;
differentiirt man zuerst, indem man x als die einzige Veränderliche
ansieht, so hat man
d u
-r— = m x m—1 y n ;
d x
differentiirt man hierauf dieses Resultat, indem man y als die ein
zige Veränderliche ansieht, so erhält man
d 2 u
d y d x
m h x ,n—1 y nwl :
verfährt man aber in umgekehrter Ordnung, so findet man
- — n x m y n_1 und
d 2 u
——=m n x™- 1 y n_l : und man sieht, daß
dxay
das Endresultat in beiden Fällen dasselbe ist. Die andern oben
angeführten Gleichungen sind nur Folgen der ersten.