Funer. von mehreren Veränderlichen.
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§• 43.
Die Art, wie man die Differentiale der Functionen von meh
reren Veränderlichen schreibt, gibt zu wichtigen Bemerkungen An
laß. Man darf nämlich alsdann nicht ^ d x mit du verwech
seln, (wie dies erlaubt ist, wenn u blos die einzige Veränderliche
x enthält), weil das du des Ausdrucks ^ nun nicht das voll
ständige Differential der Function u, sondern blos den Theil des
selben bezeichnet, der von der Veränderlichkeit der x herrührt
(§. 41.); und da der Divisor d x diese Beschränkung andeutet
(§. 39.), so muß man denselben beibehalten, um — dx von dem
vollständigen Differentiale zu unterscheiden, welches schlechtweg
durch du dargestellt wird: ganz eben so verhält es sich mit -j- dy,
tn Bezug auf y (§. 41.).
_. , du du
Dle Großen d ~
¿m+n u
-j— werden oft partielle
d v n
L x' d y “ ’ * ’ d x 1 ' 1 fl y 11
Differenzen genannt; allein diese Benennung ist ungenau,
weil jene Größen keine Differenz ausdrücken.
Die wahren partiellen Differenzen von u sind:
£(x + h, y)-f(x,y),
f (x, y+k) — £(x, y), wovon die erste sich
auf die bloße Veränderlichkeit der x, und die zweite auf die der y
bezieht. Die Ausdrücke
du, du, , du, du,
3—h, -j—k oder r-dx, dy,
dx dx dx dy- 7
welche die ersten Glieder der Entwickelungen jener Differenzen sind,
müssen partielle Differentiale (tz.5.) genannt werden, und
die Ausdrücke werden immer die Differential -Coefficien-
ten, der ersten Ordnung, der gegebenen Function bleiben, und all-
gemem wrrd ^ md — em Differential - Coefficlent, der m-j-uten
Ordnung, seyn, der von mmaligem Differentiiren in Bezug auf
x, und von nmaligem Differentiiren in Bezug auf y herrührt; al
lein man hat zu bemerken, daß eine Function von Einer Veränder
lichen, in jeder Ordnung, nur Einen Differential- Coefficienten
hat t (§._ 17.), während eine Function von zwei Veränderlichen,
zwei Differential - Coefficienten in der Ersten Ordnung, drei in der
zweiten, vier jn der dritten u. s. w. hat.