Gleichungen mit zwei Veränderlichen. 
Von der Differentiation beliebiger Gleichungen 
von zwei Veränderlichen. 
tz. 48. 
Bisher habe ich nur gesonderte Gleichungen differentiirt, d. h. 
nur solche, worin sich die Veränderliche auf der einen, und die 
Function auf der andern Seite, allein befand, wie z. B. Glei 
chungen von der Form Y = X, wenn Y eine Function von y, und 
X eine von x ist. Allein die meisten Gleichungen, worauf analy 
tische Untersuchungen führen, bieten sich nicht unter dieser Gestalt 
dar; sondern die Veränderliche und die Function von derselben 
sind untereinander vermischt oder verknüpft. 
Wenn man zwischen x und y eine beliebige Gleichung 5 (x^ y) 
= o hat, so bezweckt dieselbe x durch y oder y durch x zu bestim 
men, so daß die eine dieser Größen eine Function der andern ist; 
und verwandelt man x in x-j-ll und y in y-j-K, so muß man 
auch noch haben 
f (x + h, y -{- k) = o, mithin auch die Gleichung 
£(x + h, y -j- k) — £(x,y) = o, welche sich nach 
§. 41., wenn man £(x, y) durch u vorstellt, in folgender Form 
entwickeln läßt: 
Dieses vorausgeschickt, besteht das Aussuchen des Differential- 
Coefficienten von y, in dem der Grenze des Verhältnisses ^; al 
lein wenn man in der letzten Gleichung k—macht, so wer 
den ihre sämmtlichen Glieder durch h theilbar, und nimmt man 
hierauf — o an, um zur verlangten Grenze zu gelangen, so geht 
sie in folgende über 
dy 
dx 
d 2 u 
dx 2 
1.1, E, -j—- = 1.2, F rc., und 
dy 2 
der -Werth von A folgt aus dem von u, wenn sowohl x als y in die 
ser Function selbst gleich Null gesetzt werden.