Gleichungen mit zwei Veränderlichen. 
verschwinden, wenn h — 
überzugehen, wo alsdann 
angenommen wird, um zur Grenze 
n durch ~ und q durch ^ 
ersetzt werden muß; man wird demnach zuletzt erhalten 
du' du' dy , du' dp 
dx ‘ dy dx~* dp dx 
oder, was einerlei ist 
du', . du', , du 
welches Resultat mit dem vollständigen Differentiale der Function 
u' zusammenfällt. Folglich, um die Gleichung zu bilden, 
welche die Relation zwischen dem Ersten und zwei 
ten Differential - (So esst ci e nt en ausdrückt, muß 
man die Gleichung, welche den Ersten enthalt, dif- 
ferentiiren, indem man diesen Ersten als eine neue 
Veränderliche ansieht, und hierauf das Resultat 
durch dx dividiren. 
Bezeichnet man hierauf^ mit q, so kann die oben erhal 
tene Gleichung als eine, der Null gleich gesetzte, Function u" 
von x, y, p und q angesehen werden, und wird zu einer 
Gleichung führen, die einerlei ist mit: du"=o, wodurch der 
Differential - Coefficient r der Function q, d. h. der Dritte Dif 
ferential-Coefficient der Function y, durch die vorhergehenden 
bestimmt wird. 
Man sieht hieraus, daß die Gleichungen, welche die 
Relationen zwischen den Differential - Coefficien- 
ten einer durch eine Gleichung zwischen zwei Ver 
änderlichen gegebenen Function ausdrücken, durch 
wiederholte Differentiationen von einander abge 
leitet werden, wofern man jeden Differential- 
Coefficienten als eine neue Veränderliche ansieht. 
§. 49. 
Das folgende Beispiel wird alles Vorhergehende aufhellen. 
Es sey die Gleichung gegeben: 
y 2 — 2 m x y -j- x 2 — a 2 = o; hier ist die 
Function u, y 2 — 2mxy-j—x 2 — a 2 : differentiirt man dieselbe, 
indem man x und y als Veränderliche ansieht, und setzt das 
Resultat gleich Null, so wird man finden