Gleichungen mit zwei Veränderlichen.
§• 50.
(J2y
Berücksichtigt man, daß q— und daß d 2 y=sd(dy),
so wird man sich überzeugen, daß die Gleichung
(y — mx)q-|-p 2 — 2mp-j-l = o
sich unmittelbar aus der Gleichung
ydy-—mxdy — mydx-{-xdx=o . . . (1)
ableiten läßt, wenn man die letztere differentiirt, indem man dy,
als Function von x, als veränderlich ansieht, und nachher durch
dx 2 dividirt. Denn zuvörderst hat man
dy 2 + yd 2 y — 2mdxdy — mxd 2 y-f*dx 2 = o . . (2),
und hierauf
dy 2
d x 2
2m I7 +1 + (y “ mx) ^ =:0 '
dx 2
d y d 2 y ,
welche Gleichung, wenn man in ihr ^ tn p und tn q ver
wandelt, zu derjenigen wird, die man oben erhielt, um q zu be
stimmen.
Im Allgemeinen lauft die Behandlung obiger p, q, rc. als
veränderlicher Größen, weil sie Functionen von x sind, darauf
c dy
hinaus, die Differentiale der gleichbedeutenden Ausdrucke
d~ Y q2 y ¿3 y
rc. zu nehmen, welche durch ~ , -j-~, rc., dargestellt
werden, oder endlich die Größen dy, d 2 y, rc. als Functionen
von x anzusehen.
Die Gleichung (1) ist das Erste Differential der gege
benen, die Gleichung (2), das Zweite derselben u. s. w.,
und zu Folge der obigen Bemerkung lassen sich die Diffe
rentiale einer gegebenen Grundgleichung durch
wiederholte Differentiationen von einander ablei
ten, wofern man y, dy, d 2 y, rc. als Functionen von
X ansieht.
Man geht zu den Gleichungen über, welche die Differential-
Coefficienten geben, wenn man bemerkt, daß diese Letzteren durch
d y d 2 y
di' dx 2 ' lC>
dargestellt werden, oder wenn man
dy — pdx, d 2 y—qdx 2 rc. macht.