Gleichungen mit zwei Verändert ch e n. 61 
tz. 52. 
Es ist leicht, das Vorhergehende auf Beispiele anzuwenden, die 
zusammengesetzter sind, oder in denen die Veränderlichen in einem 
noch hohem Grade vorkommen. Es sey noch folgende Gleichung 
gegeben 
y 3 — 3axy-|-x 3 = o» 
hier gibt die Differentiation 
3 y 2 d y — 3 a x d y — 3 a y d x -f- 3 x 2 d x =: o, 
oder, nach Weglassung des gemeinschaftlichen Theilers 3, 
y 2 dy—axdy — aydx-|-x 2 dx = o . . . (1) 
woraus folgt 
dy ay — x 2 
dx y 2 — ax* 
Da die Function y, in diesem Beispiel, durch eine Gleichung 
vom dritten Grade gegeben ist, so muß sie drei Werthe haben, 
und substituirt man dieselben nacheinander in dem Ausdrucke von 
d y 
so wird man eben so viele Werthe für den Differential-Coef- 
sicienten erhalten. Man sieht allgemein, daß dieser Coefficient 
immer eben so viele Werthe haben wird, als deren die Function y 
vermöge der gegebenen Gleichung zuläßt: ganz eben so verhält es 
sich mit dem Differential. 
Eliminirte man y zwischen den beiden Gleichungen 
y 3 — 3axy-J-x 3 = o, 
y 2 dy — axdy — aydx-fx 2 dx = o . . . (1), 
so erhielte man zum Resultat eine Gleichung vom dritten Grad in 
Bezug auf d y, welche die drei Werthe in sich faßte, die diesem 
Differentiale zukommen können. *) 
*) Zu Gunsten einiger Leser mögen die drei vorzüglichsten Eliminations- 
Methoden auf obiges Beispiel hier angewendet werden. 
y 3 — 3 a x, y + x 3 = o 
, dx , „dx 
y~ — a -=—. y+x 2 ai=o, 
J d y d y 
y 3 + Qy + R = o, Q = — 3ax, R. = x^, 
y 2 + P / y + Q / =o, P' = 
dx dx 
a-7—, Q , ==x 2 
ax. 
dy' x dy 
Methode der Symmetrischen Functionen. 
Es seyen a, ß die Wurzeln von y^d-P'y-f o, und S t : 
c'.+ß, S 2 — « 2 + ß 2 rc.