Gleichungen mit zwei Veränderlichen. 
y 2 d 2 y—axd 2 y + 2ydy 2 — adydx — ädxdy-j-2xdx 2 — o, oder 
(y 2 — ax) d 2 y -{- 2ydy 2 — 2adxdy -f- 2xdx 2 — o (2). 
Dieses ist das zweite Differential der gegebenen Gleichung; ver 
bindet man es mit dem Ersten, so kann man d y eliminiren und 
das Resultat gibt den Ausdruck von d 2 y tn x, dx und y- 
Wenn man will, so kann man die Function y, vermittelst der ge 
gebenen Gleichung, wegschaffen. 
Dividirt man die Gleichung (2) durch d x 2 , so nimmt sie die 
Form an: 
d 2 v dv 2 d y _ 
(y 2 -^) aTa +2y i | ; -2 a K + 2 X = o ( 
und enthält blos die Differential - Coefficienten ^ und Sub- 
stituirt man sür ^ seinen Werth ~—~~ , der sich aus der 
Gleichung (1) hervorziehen ließ, so erhält man 
'dx 2 J \y 2 —ax/ \y~— ax/ 
und nach der Reduction auf einerlei Benennung 
(y 2 -ax) 3 |^ + 2xy< 
6ax 2 y 2 -J- 2x 4 y + 2a J xy = o; 
allein die Größe 2xy 4 — 6ax 2 y 2 -}-2x 4 y ist einerlei mit 2xy 
(y 3 — 3axy-fx 3 ) und deßhalb gleich Null, vermöge der gege 
benen Gleichung; folglich hat man 
d 2 y 
(y 2 —ax)b —-s-2a^xy —o, oder 
d 2 y — 2 a 3 xy 
dx 2 (y 2 — ax) 3 ' 
Differentiirt man die Gleichung (2) in Bezug auf d 2 y, dy, 
y und x, so erhalt man das dritte Differential der gegebenen 
Gleichung, und man zieht hieraus den Werth von d 3 y, wenn 
man zuvor d 2 y und dy vermittelst der Gleichungen (1) und (2) 
eliminirt hat; dividirt man das Resultat durch dx 3 , so erhält 
man den Ausdruck des dritten Differential-Coefficienten Ver 
folgt man diesen Weg weiter, so gelangt man zu den höhern Dif 
ferentialen. 
tz. 53. 
Die Bemerkung des §. 7. über die Constanten, welche bei der 
Differentiation der Functionen verschwinden, gilt ebenfalls für die 
Gleichungen. Wenn man z. B. hätte