Gleichungen mit zwei Veränderlichem
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cl y
Function y und ihrem Differential - Coefficienten unabhängig
von einem besondern Werthe der Constante a, Statt finden muß.
Löste man die Gleichung
y 2 — 2ay-{-x 2 = a 2
in Bezug auf a auf, so zöge man daraus
a = — 7±K2y 2 +x 2 ;
und das von den Veränderlichen x und y befreite a würde durch
die bloße Differentiation verschwinden; man fände nämlich
. 2ydy-j-xdx
— d y±-;^' ■■-=• =
lT‘2 y 2 + x 2
und nach Wegschaffung des Wurzelzeichens kann man sich überzeu
gen, daß diese Gleichung einerlei mit derjenigen ist, welche aus
der Elimination hervorgeht.
§. 54.
Man kann so viele Constanten wegschaffen als man will, wo
fern man eine der Anzahl dieser Constanten gleiche Anzahl von
Differentiationen vornimmt. Es sey die Gleichung
y 2 —m(a 2 — x) 2 gegeben; zuerst hat man
ydy — — mxdx, und differentürt man
von Neuem, so findet man
y d 2 y + d y 2 = — m d x 2 : substituirt man
für I» seinen aus der vorhergehenden Gleichung entnommenen
Werth / und dividirt durch dx 2 , so erhält man
I
d y dy 2
dx X dl 2
ein von den Constanten a und m unabhängiges Resultat.
§. 55.
Die Differentiation bietet, in ihrer Verbindung mit der Eli
mination, ein Mittel dar, die Exponenten wegzuschaffen. Es sey
z. B. die Gleichung gegeben
=
wo P und Q beliebige Functionen von X und y sind; nimmt man
das Differential dieser Gleichung, so erfolgt
nP n ~ 1 dP = dQ,
oder wenn man beide Seiten mit P multiplicirt,
uP«dP=PdQ;
Lacroix Siffmiit,