Krumme Linien.
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Koefficienten der Function. Denn zieht man, bei einer
beliebigen krummen Linie CD, Fig. 1., durch 2 Punkte MFlg.i.
und M', eine Secante MM', die man verlängert, bis sie die
Axe der Abftissen AB in S erreicht, und durch den ersten Punkt
eine Tangente MT, so wie ferner die beiden Ordinalen TM,
P'M', und die mit AB parallele Linie MQ, so werden die
ähnlichen Dreiecke M'QM und MTS zeigen, daß .die Ver-
M O TM
Haltnisse z~~ und p-g immer gleich sind. Allein gedenkt man
den Punkt M' dem Punkt M stets naher gerückt, so nähert sich
auch der Punkt 8 dem Punkt T; die Linie PS strebt also dar
nach, der Subtangente PT gleich zu werden: das Verhältniß
PM ., m PM
^ wird sich eben so dem Verhältniß
nähern, welches
PS """ ,vvy '— v * PT
letztere demnach die Grenze des ersteren oder auch desjenigen
Verhältnisses seyn wird, welches zwischen den Zuwachsen MQ
und M'Q Statt findet, so die Abscisse AP und die Ordinate
PM gleichzeitig annehmen.
Es folgt hieraus, daß wenn der Ausdruck des Verhältnisses
P M
—- bekannt ist, derselbe den Differential - Eoefficienten der der
Ordinate entsprechenden Function darbietet (§. 7,), und daß um
gekehrt, wenn diese Function bekannt ist, ihr Differential-Coef
ficient die Subtangente vermittelst der Ordinate bestimmen wird,
weil man, wenn PM mit y und der PM Differential -Coefsi-
y
cient mit p bezeichnet, wird, p:
PT
haben wird, woraus her-
vorgeht: PT-
vermittelst welchen Werthes sich die Tan-
gente am Punkte M ziehen läßt.
§. 50.
Man sieht also, daß die Differential-Rechnung, vermöge
ihres Grund-Princips, das Problem der Tangenten di
rect auslöst, wenn der fraglichen krummen Linien Gleichung ge
geben ist. Auch war es die gesuchte Auflösung dieses Problems,
welche die Geometer zur Differential-Rechnung führte, die man
seitdem unter sehr verschiedenen Gesichtspunkten dargestellt hat;
allein welchen Ursprung man ihr auch zuerkennen möge, so wird
sie dennoch immerhin auf einer analytischen Thatsache be
ruhen, die jeder Hypothese vorhergeht, wie der Fall der schweren
Körper gegen die Oberfläche der Erde, den verschiedenen Erklä
rungen, die darüber versucht worden; und diese Thatsache ist
just die allen Functionen zukommende Eigenschaft, für das Ver-
