Krumme Linien. 
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Man ersieht zugleich aus dem Vorhergehenden, daß der Dif 
ferential-Coefficient der Ersten Ordnung, welcher das Ver- 
haltniß Fig. 1. ausdrückt, die trigonometrische Tangente des Ng.i. 
Winkels MTP darbietet, den die die krumme Linie am Punkte 
M berührende Linie mit der Axe der Abscissen AB bildet, und 
den Lauf der krummen Linie in der Nähe des Punktes M charak- 
terisirt; denn wenn AB die positive Seite der Are der Abscissen 
vorstellt, so werden der Winkel MTP und seine Tangente po 
sitiv seyn, wenn die Ordinaten im Zunehmen begriffen sind, wie 
in der Fig. 1., und negativ, im entgegengesetzten Falle. 
Dieses läßt sich auch aus dem Ausdruck des Unterschieds 
M'Q der aufeinander folgenden Ordinaten BAI und FM' er 
schließen, wenn man bemerkt, daß es immer möglich ist, den 
Zuwachs h so klein anzunehmen, daß das Erste Glied ^ h die 
Summe aller übrigen übertrifft, und alsdann das Zeichen des 
Ergebnisses der Reihe bestimmt; denn ein Ausdruck von der 
Form 
AlF+Bh^-j-ClF+K., 
worin die Exponenten «,/?,/ rc. alle positiv und steigend sind, 
kann unter die folgende gebracht werden: 
h«(A + Bhß- a CF/- ß 4- rc.), 
woraus man sieht, daß der Theil Bh^ _ß +Ch7" si + rc. des 
zweiten Factors, da er bis zur Null hin abnimmt, wenn ll ab 
nimmt bis es verschwindet, bevor er jene Grenze erreicht, kleiner 
als die von h unabhängige Größe A werden muß. *) In die 
sem letztem Stand der Dinge, bestimmt das Zeichen von A das 
jenige des ganzen Ausdrucks, welcher demnach positiv seyn wird, 
wenn A positiv ist, und negativ, im entgegengesetzten Falle. 
Es folgt hieraus, daß die Function j steigend oder fallend seyn 
d y 
wird, je nachdem positiv oder negativ seyn wird. 
Glieder übrig bleiben, worin h vom geringsten Grade ist, und das 
Differential einer beliebigen, z. SS. inten, Ordnung ist nothwendig 
von der Form d m y= tdx m (§. 17.) und nur mit homogenen Dif 
ferential - Ausdrücken d. i. mit solchen, die in Bezug auf den Zuwachs 
dx von demselben Grade sind, vergleichbar. 
*) Man wird spater ein Verfahren finden, um den Werth von Ir anzu 
geben , welche in der Taylorschen Reihe diese Bedingung erfüllen.