Genäherte Werthe. 
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>^=c+ x ì-®o 
a=x x» 
rcck 
dx 2 1.2.3 
es ist auch hier C die willkührliche Constante. 
Die Integration durch Theile führt ebenfalls zu der letzten 
Entwickelung. Denn zerfällt man das Differential Xdx in die 
beiden Factoren X und dx, und integrirt den zweiten, so erhält 
man zuerst: /Xdx — Xx—/xdX, und hierauf: 
- , v /-dx , 1 . dx 1 r. d 2 X 
xdX = / --— 
dx 
dx 
d-X 
d 2 X 
dx 2 
d-X 
xdx = i X 2 ^ 
2 dx 
d 2 X 
— r / X 
.x 2 dx = : 
dx 2 
d-X 
/x 3 p= //^.x 3 dx=*x* s* 
J dx 2 d X- 4 d X- by 
dx * 
d-X 
dx 2 ' 
d»X 
dx»' 
d 2 X 
2c.; fetzt man nach und nach für /xdX, /x 2 , rc. ihre Werthe, 
so erfolgt: 
/Xdx —X^ 
dX 
+ 
d-X 
rc., 
dx 1.2 ' dx 2 1.2.3 
und damit der Ausdruck des Integrals vollständig wird, muß 
dieser Entwickelung noch eine Constante hinzugefügt werden, wo 
durch sie mit der vorhergehenden zusammenfällt. Es wurde diese 
Reihe zuerst von Johann Bernoulli angegeben, und sie führt 
feinen Namen, wie die Reihe des §. 20. denjenigen von Taylor 
führt. ' 
§. 241. 
Bis hieher habe ich nur den Differential - Coefficienten von 
der ersten Ordnung betrachtet; allein wenn man nur diejenigen 
von der zweiten Ordnung kennte, so wären zwei auf einander 
folgende Integrationen nöthig, um zur ursprünglichen Function 
aufzusteigen, woraus derselbe abgeleitet wurde. 
Es sei X der Differentiale Coefsicient von der zweiten Ord 
nung der Function y, so daß man hat: 
-?=x- 
multiplicirt man beide Glieder dieser Gleichung, mit dx, so erfolgt: 
d 2 y d 2 y , dy 
— Xdx; allein ~ ist das Differential von-^, wenn man 
dy 
dx als conftant ansieht. Man erhalt also: y- —/Xdx. Bedeutet 
r die ursprüngliche Function von x, welche/Xdx gleich ist, und