Quadrirte krumme Linien.
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Es haben die einfachste Gleichung die Parabeln der
vermiedenen Ordnungen, indem für diese Statt findet:
Zieht man hieraus j=p n x ll =X, so erfolgt:
1 m
„/Xdx=/p" x n dx —
np 11
— L ,— x
m -j- n
11 -f-const/*
Alle diese krummen Linien sind quadrirbar, wie man sieht,
d. h. man hat einen endlichen und algebraischen Ausdruck für
die Fläche des von ihrem Bogen, der Achse der Abscissen und
der Ordinate eingeschlossenen Abschnittes. Vermittelst dieses Aus
druckes für einen Abschnitt ist es leicht, jeden andern Flachenraum
zu berechnen, der von einem Theile der krummen Linie und
von geraden Linien eingeschlossen wird, welche mit den Abscissen
und Ordinären Polygone bilden, deren Maß die Elementär-
Geometrie finden lehrt; es werden weiter unten Beispiele hierüber
vorkommen (§§. 252— 255.)
Da die vorgegebenen krummen Linien durch den Anfangspunkt
der Eoordinaten gehen, weil man zu gleicher Zeit x— o und
j — o hat, so muß man, wenn ihr Inhalt mit jenem Punkte
anheben soll, die willkürliche Constante auslassen, weil der Aus
druck -^7—x u von selbst verschwindet, wenn darin x = o
in-f-n
gemacht wird. Um hierauf den zwischen den Ordinaten DE und
PM, welche den Abscissen AB = a und AP = x entsprechen, ent
haltenen Flächenraum zu erhalten, reicht es hin, von dem Inhalte
-- m-f-n “ ro+n
-^7—x 11 des Raumes ACMP den Inhalt —a u des
m -j- n m + n
Raumes AGB hinwegzunehmen, wodurch man erhält:
m-4-n
BCMP:
n p
m -}- n
Wenn der Exponent » gerade ist, so läßt der Ausdruck
n
X n das Doppelzeichen ± zu, und da alsdann dieselben
mss-n
Abscissen AP zwei Zweigen ACM und Acm angehören, so hat
man zwei Abschnitte ACMP und AcmP, wenn derjenige, welcher
die positiven Ordinaten hat, einen positiven, und der andere
einen negativen Werth hat.