Quadrirte krumme Linien. 
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und in |a* arc ^cos = ^——^ ^ AC arc AN denjenigen des 
Kreisausschnittes AEN zu erkennen. — Macht man x—2a, so 
wird der Ausdruck von AN?, 4-a 2 arc (cos =— l) = 4- a3 ^ 
wofern Ti den halben Umfang desjenigen Kreises bedeutet, dessen 
Halbmesser — 1, und gehört alsdann dem Halbkreise an. Es 
folgt hieraus der Inhalt des ganzen Kreises — a 2 7r —4-a.2a7r, 
wie es auch in der Elementar-Geometrie bewiesen wird. 
Die im §. 205. gefundene Entwickelung von sdx V”2ax~^x* 
giebt genäherte Werthe des Raumes AN? an die Hand. 
Wird die Gleichung des Kreises auf den Mittelpunkt bezo 
gen , so erhält man unmittelbar: 
sdx] r a*—x 2 == ^xITsl 2 —x 2 -j-^a 2 arc ^sia = (s. oben.) 
§. 250. 
Da die Ordinate der Ellipse, ^ IT2ax — x 2 ist, so ist der 
Abschnitt der Ellipse 
AM? — ^sdx Y*2ax—%} ; 
und da dieser Abschnitt mit demjenigen des Kreises, AN?, zu 
gleich verschwindet, so wird man haben: ANP; AMPr=a:b; 
denn es ist aus tz. 236. leicht zu erschließen, daß wenn zwei 
Differentiale in einem constanten Verhältnisse sind, dieses Ver 
hältniß auch dasjenige der Integrale ist, wenn diese Integrale 
zugleich verschwinden. 
Da nach dem Vorhergehenden der Inhalt eines über der 
großen Achse, als Durchmesser, beschriebenen Kreises sich zum 
Inhalte der Ellipse verhält, wie die große Achse zur kleinen; so 
wird die Ellipse einem Kreise an Inhalt gleich seyn, dessen Halb 
messer eine mittlere Proportionale zwischen den beiden halben 
Achsen ist. Denn ^ na z — nah = Inhalt eines Kreises, dessen 
Halbmesser — Väh. 
§. 251. 
Da die auf einen Scheitel der Hauptachse bezogene Gleichung 
b 2 
der Hyperbel folgende ist: y 2 = — (2ax + x 2 ), so ist der Ab- 
schnitt der Hyperbel 
AQR — -/HxT^ 2ax-j-x r . 
Sct-irwjt Jnteg?»