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Quadrirte krumme Linien. 
stellt es den Abschnitt Imn dar, welcher, so wie der Abschnitt 
ACQM, zugleich mit y verschwindet. Folglich ist ACQM=Im n. 
Beim Punkte K, wo y = 2&, wird der AbschnittACK gleich 
dem Halbkreise ImKI. Endlich leuchtet es ein, daß der Raum 
KMQ^ACK — ACQM = Kmn. Da das RechteckAK, IK 
zur Höhe und AI —ImK Zur Grundlinie hat, so ist es das 
Vierfache des Halbkreises ImKI. Zieht man von diesem Recht 
ecke den Raum AGK = ImKI ab, so erhält man zum Reste 
den Raum AMKI = 3 mal ImKI. Hieraus folgt, daß der 
zwischen einem Zweige der Cycloide und ihrer Achse befindliche 
RaumAKLA, das Dreifache des erzeugenden Kreises ist. 
§. 258. 
Nun habe ich noch von den Spiralen zu handeln. Ich 
will mich zuerst mit denjenigen beschäftigen, welche durch die 
Gleichung u = at n (§. 117.) vorgestellt werden, in welcher r dem 
;.sr.Bogen ON, Fig. 51., und u, AM gleich ist. Da wir hier 
mit Polar-Coordinate!: zu thun haben, so ist das Differential 
des Inhalts (§• 120.); setzt man demnach für v. seinen 
Werth und integrirt, so findet sich der Inhalt — 
a3£2n-f 1 
-—¡—-4- const. 
4n -p 2 
Ist n positiv, so muß man die Constants vernachlässigen, wenn 
die Räume bei der Linie AO anheben, bei welcher t=o; man 
a 2 t 2n+t 
hat alsdann ACM == -—— r . Nach einer Umdrehung des Ra- 
4n-{-; 
dius Vector, findet sich der Raum ACMK — 
n den halben Umfang des Kreises ON bedeutet. 
* z {2ny n+l 
4n-J-2 
wenn 
In der Archimedischen Spirale ist 3 — — und n 
mithin ACM 
ihm t 
24 re 2 ' 
2n macht, erfolgt: 
1 (§.117.), 
aus welchem Resultate, wenn man in 
ACME = - 
ft 
3' 
d. h. ---- des Kreises ON, weil die hier vorkommenden Einheiten 
quadratische sind und der Inhalt dieses Kreises u (l) 2 
Bei der zweiten Umdrehung geht der Radius Veetor über 
den Raum hin, den er bei der ersten beschrieb, und eben so ver 
hält es sich bei jeder neuen Umdrehung, so daß diese Räume