Quadrirte fc um me Linien. 
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sich summiren, und, wenn bloß derjenige Raum gesucht wird, der 
r /^11 2 (1 ^ 
durch die m tc Umdrehung begrenzt wird, das Integral — 
zwischen den Grenzen t-. 
men werden muß. 
;(m— 1)2Tt und t =: m , 2rt genom- 
So findet man bei der Archimedischen Spirale 
in 3 —(in — l) 3 
‘7t, 
Berechnet man den Raum, der durch die folgende Umdrehung 
d. i. die begrenzt wird, und nimmt den vorigen Raum 
hiervon weg, so erfolgt, daß der Raum zwischen zwei Umdre 
hungen oder Gangen 
( m —j— l) 3 — 2 m 3 -f- (m — I) 3 
= V — n — 2mn. 
3 
Da dieser Raum 2rt wird, wenn m = i, so erhellet, daß der 
Raum zwischen dem m ten und dem m-s-l^n^ Gange das mfache 
desjenigen zwischen dem ersten und zweiten ist, wie Archimedes 
ebenfalls gefunden hatte. 
Bei der Hyperbolischen Spirale, wo n=—i, hat man: 
—1+ const v und der zwischen den Radien Vecto- 
ren, welche t — h und t=c entsprechen, eingeschlossene Raum 
a 2 /1 l\ 
2 \b c/ ' 
welcher Ausdruck wegen des zwischen der Achse AB, Fig. 31., 
und dem unendlichen Zweige MK (S. 142.) eingeschlossenen 
Raumes unendlich groß wird, wenn t — o. 
Bei der Logarithmischen Spirale endlich ist t—lu (§.128.), 
du , /~u 2 dt /~udu 
dt : 
du /1u 2 dt /^ud 
4 
-f- const* 
§. 259. 
Das Differential des Bogens einer auf rechtwinklige Coor> 
dinaten bezogenen krummen Linie wird, nach §. 64., durch 
T^dx 2 -j^dy 2 ausgedrückt. Substituirt man in diesem Ausdrucke, 
für dj 2 , dessen aus der Differentialgleichung der gegebenen krum 
men Linie abgeleiteten Werth, so nimmt er die Form Xdx an, 
und das Integral hiervon giebt die Länge des Bogens der krum 
men Linie. Die Länge des Bogens einer krummen Linie suchen, 
heißt ihre Rectification suchen, weil die Auflösung jener 
Aufgabe, wofern sie sich genau vollbringen läßt, in den Stand 
setzt, eine gerade Linie anzugeben, welche dem fraglichen Bogen 
gleich ist. "