Vielfache Integrale.
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V
p=à—*, q = — l+P 2 +9 a=2 "/ mithin ist:
s^rx+r+v^s-y r ¿*_^.
oder, wenn man r 2 —y 2 = r' 2 macht,
<3x
rv>
■, arc ^sin ^ (§. 186.) J
nimmt man dieses Resultat zwischen den Grenzen x = o,
— —y 2 , so giebt es:
worauf die folgende Integration
Ttry
~
darbringt. Man sieht bald ein, daß man, in so fern die Wur
zelgröße KV—x 2 —y 2 nur mit dem Vorzeichen -j- genommen
wurde, nur den oberhalb der Ebene xy befindlichen Theil der
Oberfläche finden mußte, und daß die der x angewiesenen Gren
zen nur auf die Hälfte des oberen Theils der auf der Achse der
y senkrechten Zone beziehbar sind. Folglich würde man zum
Ausdrucke der ganzen Zone.
2nry
erhalten, die den Umfang eines Hauptkreises multiplicirt mit dem
jenigen Theile des senkrechten Durchmessers, welcher zwischen
ihren Grundflächen liegt, so wie es auch die Elementar-Geome
trie lehrt. Was die Grenzen von y betrifft, so ist einleuchtend,
daß man dazu — r und + r wählen muß, wenn man die Ober
fläche der ganzen Kugel gewinnen will.
§. 277.
Die Anwendung der Analyse auf die Mechanik führt oft zu
dreifachen Integralen von der Form
sssVdxäyd z,
wo die Function V die drei als unabhängig von einander angesehe
nen Veränderlichen, x, y, z, enthalten kann, so daß jedes der drei
Integrationszeichen nur auf eine der drei unabhängigen Veränderli
chen in's Besondere beziehbar ist. (§. 273). Man sieht bald,
daß solche Integrale von der Bestimmung einer Function u von