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Vielfache Integrale.
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drei unabhängigen Veränderlichen x, y, z herrühren, von welcher
man nur den durch die Gleichung
. d3u = V
dxdydz
gegebenen Differential - Coefsicienten
d^ >
... kennt. Denn ver-
dxciyclz
fahrt man hier wie im §. 271., so zieht man aus jener Gleichung
1", indem man x und y als constant ansieht,
d 3 u
dxdydz
dz ;
d-i
Vdz,
d 2 i
dxdy
=/Vda+T",
dxdy
wo T" eine beliebige Function von x und von y bedeutet;
2°, indem man x und z als constant ansieht,
du
d 2 u
dxdy
:/dy/Vdz + T'-}-S',
wo T' eine von /T'dy herrührende beliebige Function von
X und von y und 8' eine beliebige Function von X und
von z bedeutet;
3° endlich, indem man y und z als constant ansieht,
dx —- dx/dy/Vdz T'dx S'dx
u=/dx/dy/'Vdz + T-}- S + R,
wo T und S von /Tdx und von /S'dx herrührende beliebige
Functionen sind, und R eine beliebige Function von y'und von
z ist. ^ Das vollständige Integral enthalt demnach drei beliebige
Functionen nämlich eine von x und von y, eine von x und von z,
und eine von y und von z. Vereinigt man die Differentiale
unter dem letzten Integrationszeichen, so geht
/dx/dj/V dz
Über in
sss\s dxdydz,
welcher letztere Ausdruck demnach dasselbe bedeutet wie der vor
hergehende.
Man ersieht hinlänglich aus diesem Beispiele, wie man von
einem gegebenen Differential - Coefsicienten beliebiger Ordnung
einer Function von mehren unabhängigen Veränderlichen zu dieser
Function selbst zurücksteigen kann. Die hier eingeführten beliebt-