Integration vollständiger Differentiale. 121 
gen Functionen beziehen sich bloß, wie in §.272., auf den Fall, 
daß die Integrale zwischen Grenzen genommen werden, in Rück 
sicht auf welche die Veränderlichen x, y und z unabhängig von 
einander sind. Am häufigsten aber muß das auf z beziehliche In 
tegral von z = F (x, y) biöz = f(x, y), wo F und k gegebene 
Functionen bedeuten, das auf y beziehliche, von y = Fj (x) bis 
y=f 1 (x), und endlich das auf x beziehliche, von x —u bis 
x—a', genommen werden. 
Von der Integration der vollständigen Differen 
tiale, welche mehre unabhängige Veränderlichen 
enthalten. 
§. 278. 
Die Functionen von mehren unabhängigen Veränderlichen 
haben zweierlei Arten von Differentialen, nämlich partielle und 
vollständige Differentiale (§.46.). Wir haben schon in den 
§§. 271. 277. gesehen, wie man von einem durch die unabhän 
gigen Veränderlichen ausgedrückten partiellen Differentiale einer 
Function zu dieser Function zurücksteigen kann. Diese Aufgabe 
läßt sich immer auflösen, weil sie sich unmittelbar auf die Inte 
grationen von Differentialen mit einer einzigen Veränderlichen zu 
rückführen läßt. Nicht eben so verhält es sich, wenn man einen 
willkührlich gewählten Ausdruck von der Form 
Mdx + Ndy 
als vollständiges Differential einer Function von zwei Veränder- 
d^u d 2 u 
lichen ansieht, weil die Gleichung —(§- 40.) eine 
Relation zwischen den Größen M und N nothwendig macht, ohne 
welche diese nicht von derselben ursprünglichen Function zweier 
Veränderlichen herrühren können. 
Denn setzt man: 
du — Mdx Ndy 
so folgt daraus: 
du du ^ d 2 u dM d 3 u dN 
dx ' dy ' dydx dy ' dxdy Ax " 
und folglich: 
dM__dN ftf 
99 dy dx 
Es muß also jeder Ausdruck Mdx-f Ndy, wenn er ein voll 
ständiges Differential einer Function von den Veränderlichen