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Integration vollständiger Differentiale.
X und y seyn soll, die letzte Gleichung identisch machen: um
alsdann zu seinem Integral u aufzusteigen, hat ^man nur
(tu -, du _
M= —, Nz=-j- aufzustellen, woraus man den Werth der
partiellen Differentiale ableitet.
Nimmt man z. B. das partielle Differential in Bezug auf x,
so erhält man:
du . ^,
— dx = Mdx.
dx '
und folglich:
u-^/Mdx-s-Y.
Man fügt in diesem Falle, wie in demjenigen von §. 271. eine
beliebige Function von y hinzu, weil die Integration sich nur
auf die Veränderliche x bezog; allein hier wird diese Function
dadurch bestimmt, daß der Werth von u auch noch der Gleichung
•KT du . _
N = dy 9 enu 9 ett uruß.
Die Gleichung u=/Mdx + Y giebt.
du_d/Mdx dY t
dy“ dy dy’
bezeichnet man /Mdx durch v, so erhält man:
dy dy ' dy '
woraus man zieht:
N —
dY
dy ‘
X =A
dv
dy'
N
dv
dy
) àj,
so daß man endlich zum Integrale der gegebenen Function erhalt:
„U=/Mdx+/(n- dv
dy
) dj if »
dv
Dieses Resultat zeigt, daß die Function N — nur die eine
Veränderliche y enthalten darf, weil im entgegengesetzten Falle
die Voraussetzung nicht bestehen würde, daß Mdx und Ndy die
partiellen Differentiale einer und derselben Function u wären.
, d v
Es folgt hieraus, daß die Function N — , weil sie x nicht
enthält, keine Aenderung erleidet, wenn x variirt, und daß also
dN d 2 v
dx docdy 5