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Rationale Functionen. 
Dieses vorausgesetzt, lassen sich die verschiedenen Formen, die 
die gegebene Function X haben kann, auf folgende Weise classisi- 
ciren: rationale Functionen, 
A x m -J- B x u -|- C xP -}- . . . . 17, 
Ax m -f-Bx n -j- C xP -f- .... U 
A / x 1 “ , + B / x n '+G'xP , + ,T , , “V 5 
irrationale Functionen, 
17. V«; 
transcendente Functionen, 
1(17, IV), 5(77, sin V), ?c. 
§. 166. 
Man sieht zunächst, daß man, um die Integration zu bewerk 
stelligen, die Regeln der Differentiation umzukehren habe. Nach 
der ersten dieser Regeln hat man: 
<7 (u -}- v — w) = d u -f- d v — fl w (§. 10.), 
und wenn man die erste Seite dieser Gleichung dadurch integrirt, 
daß man das Zeichen ä auslöscht, so findet man: 
ii-s-v — w=y’(du-|-dv — d w), 
was einerlei ist mit: 
/du-f-/dv— /dw=/(d u-f>dv— dw), 
woraus folgt, daß 
„f(P dx-J-Q dx — R dx)=y*Pdx+ J'Q dx—/Rdx,“ 
d. h. daß das Integral der Summe mehrer Diffe 
rential-Functionen gleich ist der Integrale einer 
jeden dieser Functionen. 
Eben so giebt, d.au = adu (§. 11.); au==/adu, mithin 
f a du = a /du , woraus folgt t 
,,y*a X d x = a /X dx“: 
man darf also die unter dem Zeichen f befindliche Constante a 
außerhalb desselben versetzen. 
ß. 167. 
Da das Differential von Ax m +B, mAx m -*dx ist, so 
schließt man hieraus, daß 
man das, was ich ursprüngliche Function nannte, mit dem Na 
men: Integral, weil es das Aggregat aller Differentiale ist: wir 
werden später sehen, daß es, in aller Strenge, die Grenzen ihrer 
Summen ist. Sind diese Benennungen einmal richtig aufgefaßt, so 
kann man sich nach Willkühr der einen oder der andern bedienen.