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Von den Differential - Gleichungen von der ersten 
Ordnung, in welchen die Differentiale den ersten 
Grad übersteigen. 
§. 204. 
Man ersieht aus der Entstehung der Differentialgleichungen, 
wovon ich mehre Beispiele im §. 53.' gegeben habe, daß dereu 
solche vorkommen können, in welchen die Differentiale den ersten 
Grad übersteigen. Die allgemeine Form dieser Gleichungen ist 
folgende: 
dy n H” Pdy 11-1 clx-f- Qdy 11-2 dx 2 Tdydx 11 “- 1 -j-Udx 31 = o; 
dividirt man durch die höchste Potenz von dx, so wird sie: 
/dy\ n , wdyV 1 - 1 , n /dy, r r ty 
izy+ v 0 a ~ l+Q ^) -+ t s +ü: 
o. 
Löst man diese Gleichung in Bezug auf den Differential-Coefficien- 
ten ^ auf, und bezeichnet ihre Wurzeln mit 
x' — o, re. 
x, p, I> , rc. 
so erhalt man: 
dy dy , dy 
5~ p = 0 ' E- p===0 ' S 
welche Resultate sich sämmtlich nach vorhergehenden Methoden 
behandeln lassen, weil die Differentiale sich in ihnen nur im ersten 
Grade vorfinden. Das Integral eines jeden von ihnen wird 
auch das Integral der gegebenen Differential-Gleichung seyn; 
außerdem wird diese letztere auch noch zum Integrale haben das 
Product aller jener Integrale. Denn da die gegebene Differen 
tialgleichung gleichbedeutend ist mit der folgenden, 
'dy 
e->)(£->•)(: 
so wird sie durch alle diejenigen Gleichungen befriedigt, welche 
einen jener Facloren zum Verschwinden bringen. Betrachtet man 
überdieß, daß eine Grundgleichung von der Form 
MNP... = o 
nur durch das auf einander folgende Verschwinden eines jeden ihrer 
Factoren befriedigt werden kann, so schließt man daraus, daß das 
unmittelbare Differential ihrer ersten Seite, nämlich 
dM. NP.. + dN. MP... + :c., 
sich stets auf ein einziges Glied reducirt; denn nimmt man z. B< 
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