146 Differrntia lgleichungen der ersten Ordnung 
M = o an, so erhalt man bloß dM . NP = o, oder auch nur 
dM — o: mithin befriedigt die Gleichung 
MNP... = o 
die Differentialgleichung , welche durch die Gleichung 
M = o 
befriedigt werden würde. 
Die beiden folgenden wenn gleich sehr einfachen Beispiele 
werden alle Schwierigkeiten lösen, die man noch in Vorstehen 
dem antreffen möchte. 
§. 295. 
Das erste Beispiel sey: 
dy 2 — a 2 dx 2 = o. 
Diese Gleichung zerlegt sich in die Factoren 
dy-J-adx— o, dy— adx = o, 
deren Integrale sind, 
y4-ax:=c, y—ax = c'; 
es ist leicht zu sehen, daß jedes dieser Resultate der gegebenen 
Differentialgleichung genügt. Es genügt ihr nicht minder die 
Gleichung 
(y -f- ax — c) (y — ax — (/) — 0; 
denn diese giebt: 
(y -f- ax — c) (dy — adx) -f- (y — ax — c') (dy+adx) — o, weßhalb 
d r — [(y + ax ~ °) — (j — ™— c')] adx 
'ly ■— (c -j— c') ’ 
und setzt man nach und nach für y ihre Werthe c — ax, c'+ ax, 
so findet man: 
dy — — adx, dy=-J-adx, 
Da das Integral 
(y-f- ax — c) (y — ax — c') — o 
zwei willkürliche und nicht reducirbare Constanten enthält, so 
scheint es allgemeiner zu seyn, als diejenigen der andern Glei 
chungen von der ersten Ordnung, welche nur eine Constante zu 
lassen; allein man muß wohl beachten, daß jeder ihrer Factum 
nur einzeln betrachtet werden muß, und daß man aus ihm keine 
andern Linien ableiten kann als solche, welche aus einem Inte 
grale abgeleitet würden, welches nur eine einzige Constante ent 
hielte, wie man deren auch eins für die gegebene Gleichung fin 
den kann. Um dasselbe nämlich zu erhalten, mache man 
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