Gleichzeitige Disserentialgleichnngen. 
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§. 321. 
Betrachten wir jetzt die Gleichungen von der ersten Ordnung 
dy— adx — o, dz—ßdx=o, 
in welchen a, ß beliebige Functionen der drei Veränderlichen x,y, z 
sind. Hier läßt sich das Verfahren des §. 133. auf folgende Art 
anwenden. 
Man differentiirt die erste, wodurch man erhält: 
da da _ da , , 
d'V — dx 2 r— dxdy — v dxdz = o i 
J dx dy J dz y 
setzt man für dz seinen Werth ßdx, so erhält man: 
dx 2 — ^ dxdy: 
cly 
eliminirt man hierauf z, vermittelst der Gleichung 
dy — adx — o, 
so gelangt man zu einer Resultirenden in x und y von der 
zweiten Ordnung, welche nothwendig ein ursprüngliches Integral 
mit zwei willkürlichen Constanten a und b hat (298). 
Es seyen 
y/(x, y, a, b) = o und dy= mdx 
dieses Integral und der daraus abgeleitete Werth von dy; substi- 
tuirt man diesen letzteren in dy — adx — o, so erhält man eine 
zweite ursprüngliche Gleichung m — a = o zwischen x, y, z, so 
daß die gegebenen Differentialgleichungen durch das System von 
Gleichungen 
'ip (x, y, a, b) — o , m — a== o 
und durch alle diejenigen, welche mit diesen letzteren gleichbedeu 
tend sind, werden befriedigt werden. 
Dieses vorausgesetzt, werden wir sehen, daß es immer wenig 
stens zwei Systeme von Facroren giebt, vermittelst welcher man 
aus den gegebenen Gleichungen zwei genaue Differentiale ableitet. 
Denn eliminirt man aus den oben angedeuteten ursprünglichen 
Gleichungen wechselsweise a und b, und bringt die Resultate 
auf die Form 
M=a, N = b; 
so folgt, daraus, daß ihre Differentiale 
dM . dM . . dM _ 
__dx + s -dy+ —dz = o 
dN , , dN, , dN . 
— dx + — dy + — dz = o 
dx ‘ dy J dz 
durch die aus den gegebenen Gleichungen abgeleiteten Werthe 
dy—adx, dz =ßdx. befriedigt werden müssen, daß die Größen