lichen Anzahl von primitiven Gleichungen gleichkommt, die man
dadurch erhalten würde, daß man der willkürlichen Constante
nach und nach alle möglichen Werthe beilegte, und deren jede
der Differentialgleichung genügt (§. 53). Man bezeichnet diese
verschiedenen primitiven Gleichungen mit dem Namen der b e-
sondern Integrale, weil dieses besondere Falle des vollstän
digen Integrals sind. Die b e so n d e r n A u s l ö su n g e n, deren
Anzahl stets begrenzt ist, sind primitive Gleichungen, welche von
den besondern Integralen wesentlich verschieden sind. Diese Auf
lösungen sind von doppelter Art.' Die einen sind nichts als Fac-
toren der gegebenen Differentialgleichung, in welchen dx und
dj nicht vorkommen, welche demnach, wenn sie der Null gleich
gesetzt werden, primitive Gleichungen geben, welche zwischen x
und y Relationen aufstellen, wodurch die gegebene Gleichung
identisch wird. Sucht man die gemeinschaftlichen Theiler der
Functionen Al und N, so findet man die Auflösungen der ersten
Art, welche die Gleichung
Mdx -s- Ndy = o
zuläßt. Die andere Art von besondern Auflösungen, wovon uns
die Gleichung
ydx — xdy = n dx 2 -s- cly 2 (§. 297),
ein Beispiel geliefert hat, ist auf eine innige Weise mit der Dif
ferentialgleichung verknüpft, wovon sie herrührt, obschon sie mit
keinem besondern Falle des vollständigen Integrals zusammen
trifft, welchen Werth man auch der willkürlichen Constante bei
legen mag, so wie man leicht einsieht, wenn man die Glei
chungen
y=cx + n ^ 1+c 2 und x 2 -J-y 2 = n 2
mit einander vergleicht.
Es folge hier die Theorie, welche Lagrange im Jahre 1'774
von diesen letzteren Auflösungen gab, die vor ihm als ein Para
doxon in der Integralrechnung dastanden. *)
*) Er nannte sie besondere Integrale, und verstand unter den besondern
Auflösungen die verschiedenen Fälle des vollständigen Integrals. La-
placc, welcher sieh vor Lachrange mit Erfolg mit demselben Gegen
stände beschäftigt hat, bedient sieh dieser Benennungen in umgekehrter
Weise, und ich bin seinem Beispiele gefolgt. ES schien mir, daß, da
die primitiven Gleichungen, welche die Differentialgleichungen auflö
sen, ohne in ihrem vollständigen Integrale enthalten zu seyn, nicht auS
den Integrations-Methoden hervorgehen, dieselben auch keinen Namen
führen durften, welcher an diese Methoden erinnert.
