Rationale Functionen. 
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X 11 -j- A'x n -‘ + B'x n—2 . . . . -s- T=zo, 
deren aufgefundene und als einander ungleich angenommene 
Wurzeln 
a, a', a", Sk"', ic. 
heißen mögen, so daß die erste Seite der Gleichung unter die Form 
des Productes der n Factoren 
x — a, x — a', x — Sk", x — a"', rc. 
gebracht werden kann. Nachdem dieses geschehen, betrachtet man 
den gegebenen Bruch als die Summe der Brüche 
Ndx N' dx N"dx 
x-—a' x — s!' x — a"' “ C ‘ 
welche die Factoren des gegebenen Nenners zu Nennern und unbe 
stimmte Constanten zu Zählern haben. 
Um unsre Gedanken festzustellen, nehme ich an, das zu 
integrirende Differential sey, 
(Ax 2 -f- B x + C) d x 
x 3 -J- A x a x-|— C» 1 
und man habe gefunden: 
x 3 A' x 2 B' x C = (x — a) (x — a') (x — a"). 
Bringt man die Brüche 
Ndx N'dx N"dx 
x — a' x—a" x — a'" 
auf einerlei Benennung, und addirt sie, so erhält man zur 
Summe, 
N (x— a') (x—a") + lM'(x—a) (x—a") -}-(N"(x—a) (x—a') 
(x — a) (x — a') (x — a") X 3 
der Nenner dieses Bruches wird dem des gegebenen gleich seyn, 
und der Zähler wird nothwendig eine Function seyn, die von 
einem niedrigern Grade, als der Nenner, d. i. vom zweiten, 
seyn wird. Denn nach vollzogener Entwicklung erhält man, 
}(N + N'-f N")x 2 — [N (a'+a") -l- N"(a -j- a") -j- N"(a + a')] X 
+ Na'a" + N'aa" + N"aa'} dx. 
Vergleicht man diese Function mit dem Zähler des gegebenen 
Bruches, so ergeben sich die drei folgenden Gleichungen, 
N+N'-j-rr^A, 
N (a'-J- a") — N' (a + a") — N" (a + a') = B, 
N a' a" + N' a a" + N" aa' = C, 
welche, in Bezug auf die Unbestimmten N, TNT und N", nur vom 
ersten Grade sind. 
Um diese Gleichungen aufzulösen, reicht es hin, die erste mir