§. 325. 
Eine Eigenschaft der besondern Auflösungen, welche sich leicht 
beim zweiten Beispiele darbietet,, und welche allgemein ist, be 
steht darin, daß eine Differentialgleichung sich so 
gestalten läßt, daß ihre besondere Auslösung zu 
einem Factor wird. Denn setzt man 
'K'x 2 + y 2 — a 2 = u, 
so erhalt man 
xc!x -s- ydy — udu, 
und die gegebene Gleichung wird 
udu — udy == o. 
Nähme man an: 
u — x 2 -f- y !2 — a 2 , 
so würde das Wurzelzeichen in der Transformirten sichtbar blei» 
ben, da diese 
du — 2djV~ u — o 
werden würde; differentiirte man, so erfolgte 
und ließe man den Nenner verschwinden, so ginge daraus hervor: 
d 2 u ]Tu — 2ud 2 y — djdu = o, 
welche Gleichung ebenfalls noch durch die Annakme von u — o 
befriedigt werden würde. Da diese Transformationen so weit 
man will fortgesetzt werden können, so folgt daraus, daß es 
Verfahrungsweisen giebt, alle Differentiale der gegebenen primi 
tiven Gleichung so zu bereiten, daß die besondere Auflösung ihnen 
ebenfalls genügt, welches ohne dies nicht Statt finden würde. 
Denn wenn man bei der Variirung der Constante c und der 
ständige Integral dy — pdx hat: so wird der Werth von d 2 y 
für die erste 
während er für das andere bloß ^ dx 2 ist; auch genügen diese 
beiden Werthe im Allgemeinen nicht demselben Factor; man sieht 
sogar,'daß die Gleichung 
Lurch die besondere Auflösung, unabhängig von den Differentia 
len der zweiten Ordnung, befriedigt werden würde.