Besondere Auflösungen.
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Die Entwickelung und die Beweise der oben angedeuteten
Umstande würden mich zu weit führen; man kann sie in einer
Denkschrift finden, in welcher H. Poisson mehre Schwierigkeiten,
welche in der Theorie der besondern Auflösungen der verschiede
nen Arten von Differentialgleichungen noch übrig geblieben waren,
mit Erfolg erörtert hat. *)
§. 326.
Um gemäß dem Vorhergehenden zu erkennen, ob eine primi
tive Gleichung, welche keine willkürliche Constante enthalt, und
eine gegebene Differentialgleichnng befriedigt, ein besonderes In
tegral oder nur eine besondere Auflösung dieser letzteren ist, muß
man eben derselben vollständiges Integral haben. Da dieser
Umstand nicht immer Statt findet, so führt er uns natürlich
auf die folgende Aufgabe:
Es sey ein Werth y = X gegeben, welcher einer
Differentialgleichung genügt, wie findet man, ob
er in dem vollständigen Integral enthalten ist oder
nicht, und wie leitet man dieses letztere daraus ab,
wenn dies möglich ist?
Nimmt man an, daß das vollständige Integral j = V dar
bietet und y = X in sich faßt: so wird die Function V mit der
Veränderlichen x und der willkürlichen Constante C nothwendig
so zusammenhangen, daß sie sich durch eine gehörige Bestimmung
von C in X verwandelt. Bezeichnet man diesen Werth von C
mit C, und bemerkt, daß die Annahme C = C', V —X giebt,
oder daß der Unterschied V — X verschwindet, wenn 6 — C'—o,
so schließt man daraus, daß der Ausdruck von V— X, wenig
stens rücksichtlich seiner Entwickelung, unter die folgende Form
muß gebracht werden können
v — x=y'(C—cy+v" (c — cy ----- rc.,
wo die Exponenten \i, v rc. alle positiv und die Größen V' V" rc.
von C — C unabhängig sind. Man kann (6 — cy — h an
nehmen ; die Größe li wird so wie die Größe C willkürlich blei
ben; und verwandelt man auch - in ¡.i, wo ^ alsdvnn > 1, so
V
erfolgt
V — X=y / h-j-V // b M -j-:c., weßhalb
V=X -f- V'h -f YV + 2c.,
*) Journal der polytechnischen Schule, 13tes Heft; S. auch Len „Traite
etc.“ in 4to. B. II. S. 388.