190
Besondere Auflösungen.
V
welchen Ausdruck man als die Entwickelung des vollständigen
Werthes von y ansehen kann.
Dieses vorausgesetzt stelle man die in Bezug auf dy aufge
löste gegebene Differentialgleichung durch dy = pdx vor, so wird
diese neue Gleichung, der nach der Voraussetzung die Gleichung
y = X genügt, unabhängig von ll durch den vollständigen Werth
von y befriedigt werden müssen. Bezeichnet man diesen letzteren
zunächst durch X-j-k, so muß man, um ihn in dy= pdx zu
substiteuren, ausfindig zu machen suchen, wozu p wird, wenn
man in ihm für y, X + k setzt. Es sey
P + P'k m -[- P"k n -j— 2C.
die Entwickelung dieses Werthes von p; hier werden die Expo
nenten m, n, 2C., die ich in folgender Größe auf einander fol
gend annehme, nothwendig positiv seyn. Denn p wird nicht
unendlich groß, wenn k — o, weil die Gleichung y = X, welche
kein unendlich großes dy giebt, die Gleichung dy = pdx identisch
macht, so daß dX — Pdx.
Macht man y—X-s-k, so hat man zum Resultat
dx -f- dk = (P + P'k in -s-P"k» 4- rc.) dx,
welches durch die Gleichung äX — Pdx zum folgenden wird
dx — (P'k m -f P"k n + rc.) dx;
und setzt man für k wiederum seine Entwickelung
Y'h-j-Y"h^=:2C.;
so erfolgt
j P'Wx (V'+-f :c.) m )
hdV'+WV"+:c.= ff-P"kn dx (Y'+Y'b“—> + rc.) n ) (A)
(+*• !
nach welcher Gleichung man Y', V", rc. unabhängig von h be
stimmen muß. Nimmt man zuerst nur diejenigen Glieder, in
welchen diese Größe den kleinsten Exponenten hat, so bildet man
die Gleichung
h dV' = P'V /,n h m dx,
welche für ein beliebiges h nur dann gelten kann, wennm — i;
in diesem Falle verschwindet h, und es erfolgt
dY — P'Y'd x, V' = e / p ' dx .
Wenn m >> i, so kann man nicht mehr das erste Glied
PY' jn h m dx der zweiten Seite mit dem ersten Gliede hdV' der
ersten Seite vergleichen; allein man läßt dieses verschwinden,
wenn man dV' = o annimmt, wodurch V'=const. oder noch
einfacher Y^ —1 wird; dann nimmt man t u = m an, und man
erhält dY" —Plllx, woraus hervorgeht: Y"—^P'dx. Fahrt
man auf diese Weise fort, so findet man alle übrigen Glieder
der Reihen
