Besondere Auflösungen. 
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Wenn m<i, so ist es nicht mehr möglich, der Gleichung 
(A) auf irgend eine Weise zu genügen, weil man das Glied 
P'Y /,R h m dx weder mit dem Gliede hdV' noch mit einem der 
folgenden, deren Exponenten sämmtlich die Einheit übertreffen, 
vergleichen kann; da die Gleichung y= X, alsdann keine will 
kürliche Constante zulassen kann; so ist sie kein besonderes Inte 
gral, sondern eine besondere Auflösung. 
§. 327. 
Hieraus folgt ein Verfahren, die besondern Auflösungen der 
Differentialgleichungen von der ersten Ordnung unmittelbar zu 
finden, ohne deren vollständiges Integral zu kennen. Denn geht 
j in y + k über, so wird die Entwickelung von p im Allge 
meinen, nach dem Taylorschen Lehrsätze, 
, dp k. , d 2 p k 2 
p + 5^1 +37*0 
und wenn sie die Form 
P + P'k m -ff- rc. 
annimmt, so wird der Differential-Coefficient — unendlich groß, 
wofern m -< i (§. 89.); es muß demnach die Differentiation, durch 
welche man von x zu diesem Coefficienren übergeht, einen Divisor 
herbeiführen, welcher verschwindet. Hieraus folgt, daß wofern man 
^ durch vorstellt, jede besondere Auflösung L== o geben und 
mithin ein Factor von L seyn wird. Und umgekehrt wird jeder 
Factor von L, Der es nicht zugleich von Ui ist, und der der 
Null gleich gesetzt die gegebene Differentialgleichung befriedigen 
wird, eine besondere Auflösung dieser letzteren seyn. 
Man vermeidet die Auflösung der gegebenen Differentialglei 
chung in Bezug auf dy, wenn man bemerkt, daß, wennZ — o 
diese Gleichung bezeichnet, wo Z eine Function von x, j, und p 
bedeutet, indem pdx für dj geschrieben wurde, Stattfindet: 
dZ _ , dZ , , dZ , 
-q— dx -j- —- dj -}- —- dp = o, weßhalb 
£p. 
dy 
dZ 
üy 
dZ* 
dp 
dp 
Hat man demnach die Gleichung Z — o so zubereitet, daß sie 
weder Brüche noch Wurzelzeichen enthalt, so wird es hinreichen, 
dZ 
einen 
Factor von der Null gleich zu setzen, um ^ 
groß zu erhalten. 
^ unendlich