Besondere Auflösungen.
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dZ . dP
d5 = x + di!
mithin müssen die besonderen Auflösungen der Gleichung
. d?
genügen, und sie entspringen demnach aus der Elimination der
P zwischen dieser letzteren und der gegebenen Differentialgleichung.
Um endlich ein Beispiel der besonderen Auflösungen an der
Form
y = const.
zu liefern, wähle ich zur gegebenen Differentialgleichung:
dy
dx
= b (y — a) 1
aus welcher man unmittelbar ableitet
dj
Dieser Ausdruck kann nur dann unendlich groß werden, wenn
m — 1 negativ ist und zugleich y—a ist, welcher letztere Werth
nur dann der gegebenen Gleichung genügt, wenn m positiv ist; es
muß also der Exponent m ein positiver Bruch seyn. In diesem
Falle ist
y = a
eine besondere Auflösung, während das vollständige Integral
(y a)‘- m
ist.
bx = const«
§. 329.
Im Allgemeinen erlangen unter algebraischen Functionen nur
die Wurzelgrößen einen Nenner beim Differentiiren, und können
demnach
dp 1
dy 0
geben, wenn p einen endlichen Werth hat. Man muß also bei
den Wurzelgrößen die besonderen Auflösungen suchen, indem man
die in ihnen vorkommenden Functionen gleich Null setzt, und sich
versichert, daß die resultirenden Gleichungen der gegebenen Genüge
leisten. So giebt die Gleichung
xdx-s- ydy = dy Y*x 2 -j- y 2 — a 2
unmittelbar
x 2 -|-y 2 — a 2 = o;
Lacroix Zntcgr.
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