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Genäherte Auflösungen, 
und die Gleichung 
ydx — xdy — n T^dx 2 -|- dy 2 , 
woraus ninn zieht 
C ll — " x y nT""x 2 -)- j 2 — n 2 
dx n 2 x 2 n 2 —x 2 
führt zur besondern Auflösung 
x 2 J 2 — N 2 — O, 
die wir schon auf verschiedenen Wegen fanden. 
Vott den Methoden? die Differentialgleichungen 
nahemngsweise aufzulösen. 
§. 330. 
Wenn eine gegebene Differentialgleichung durch keines der 
bekannten Verfahren integrirt werden kann, so muß man sie na 
herungsweise aufzulösen d. h. daraus einen Werth von y in x 
vermittelst einer Reihe abzuleiten suchen. Man hat schon im 
§. 298. gesehen, wie die Laplorsche Reihe sich hieranwenden 
läßt. Man kann auch für y eine nach Potenzen von x geordnete 
Reihe mit unbestimmten Coefficienten aufnehmen; allein es bedarf 
meistens besonderer Kunstgriffe, um die Exponenten zu bestim 
men, wenn diese nicht die Progression der ganzen Zahlen befol 
gen. Ist die Form der Reihe bekannt, so gelangt man dadurch 
zur Kenntniß ihrer Coefficienten, daß man sowohl die Reihe als 
ihre Differentiale, anstatt y, dy, d 2 y rc. in der gegebenen Glei 
chung substituirt. 
Hat man z. B. die Gleichung 
dy -j- ydx — mx”dx, 
so nehme man an 
y=Ax ß -}-Bx ß + J -]-Cx s<+2 -Hc.: 
substituirt man diesen Werth und sein Differential in der gegebenen 
Gleichung, indem man die Glieder so vereiniget, daß man eine 
hinreichende Anzahl von Gleichungen bilden kann, um die Expo 
nenten und Coefficienten bestimmen zu können, ohne in Wider 
sprüche zu verfallen: so erhält man 
aAx ß -*-Ka-H)Bx ß -f («+2) Cx ß + I + (a+3) Dx ß+2 + K.\ _ Q 
— mx n -|- Ax si + Ex«* 1 -}- Cx ß+2 +rcJ ' 
welche Gleichung dadurch identisch wird, daß man aufstellt: