Genäherte Auflösungen.
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oder
a = n-J-i
* “ n —r<
tt ' «(«+!)'
D tt(tt-j-l) C«+2) (tt-j-Z)'
Somit findet man also:
r x n+i x n + 2
f (n+l)(n+2) (n+3)
X n +3
n+1 (n+1) (n+2)
Dieser Werth von y ist unvollständig, weil er keine willkür
liche Constante enthält. Eben so wird es sich in allen Fällen
verhalten, wo in der Entwickelung des Integrals die Constante
von der Veränderlichen x nicht getrennt werden kann. Allein
nach demjenigen, was wir im §. 299. gesehen haben, gelangt
man zu einem Resultate, welches eben so allgemein ist als das
vollständige Integral, wenn man ihm eine solche Form geben
kann, daß aus der Annahme x = a, y = b hervorgeht. Dieses
aber läßt sich dadurch bewerkstelligen, daß man x — a-j-t,
y — b-f-u aufstellt, und zur Vorstellung von u eine Reihe ein
führt, deren sämmtliche Glieder verschwinden, wenn r---o.
Durch diese Transformation wird die Gleichung
dy -s- ydx — mx. n dx,
du -{- (b u) dt = m (a t) n dt;
und macht man
U = At«+Bt ß +* + Ct ß + a 4- IC.,
so findet man
ccA.t a I -{- (ci-J-1) Bt ß -s- (tt-s-2) Ct ß + J -s- 2C.
+ b + At ß + Bt ß+I -j-:c.
ma n — m - a n—1 1—m
1
rc.
1.2
man muß hier «—1 = 0 oder a=i annehmen, sodann erfolgt:
mn(n—1) a n ~ 2 — mna“ -1 ifia n — b
§. 331.
Der Gebrauch der Reihen mit unbestimmten Koefficienten bei
den Gleichungen des ersten Grades von der zweiten Ordnung
bietet zuweilen Umstände dar, deren Kenntniß nicht unnütz ist,
und wovon uns die sehr einfache Gleichung
d 2 y + ax n ydx 2 = o
ein merkwürdiges Beispiel liefert.
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